Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 24 x + 15$

Этап 1

Найдем точку в $x = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{3}}{3} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Этап 1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель ${(- 3)}^{3}$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$f (- 3) = \frac{{(- 1 \cdot 3)}^{3}}{3} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Этап 1.2.1.1.2

Применим правило умножения к $- 1 (3)$ .

$f (- 3) = \frac{{(- 1)}^{3} \cdot 3^{3}}{3} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Этап 1.2.1.1.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- 3) = \frac{- 1 \cdot 3^{3}}{3} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Этап 1.2.1.1.4

Вынесем множитель $3$ из $- 1 \cdot 3^{3}$ .

$f (- 3) = \frac{3 (- 1 \cdot 3^{2})}{3} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Этап 1.2.1.1.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.5.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f (- 3) = \frac{3 (- 1 \cdot 3^{2})}{3 (1)} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Этап 1.2.1.1.5.2

Сократим общий множитель.

$f (- 3) = \frac{3 (- 1 \cdot 3^{2})}{3 \cdot 1} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Этап 1.2.1.1.5.3

Перепишем это выражение.

$f (- 3) = \frac{- 1 \cdot 3^{2}}{1} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Этап 1.2.1.1.5.4

Разделим $- 1 \cdot 3^{2}$ на $1$ .

$f (- 3) = - 1 \cdot 3^{2} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Этап 1.2.1.2

Перепишем $- 1 \cdot 3^{2}$ в виде $- 3^{2}$ .

$f (- 3) = - 3^{2} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Этап 1.2.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (- 3) = - 1 \cdot 9 + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Этап 1.2.1.4

Умножим $- 1$ на $9$ .

$f (- 3) = - 9 + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Этап 1.2.1.5

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f (- 3) = - 9 + 9 - 24 \cdot - 3 + 15$

Этап 1.2.1.6

Умножим $- 24$ на $- 3$ .

$f (- 3) = - 9 + 9 + 72 + 15$

Этап 1.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Добавим $- 9$ и $9$ .

$f (- 3) = 0 + 72 + 15$

Этап 1.2.2.2

Добавим $0$ и $72$ .

$f (- 3) = 72 + 15$

Этап 1.2.2.3

Добавим $72$ и $15$ .

$f (- 3) = 87$

Этап 1.2.3

Окончательный ответ: $87$ .

$87$

Этап 1.3

Преобразуем $87$ в десятичное представление.

$y = 87$

Этап 2

Найдем точку в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{3}}{3} + {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 15$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{0}{3} + {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 15$

Этап 2.2.1.2

Разделим $0$ на $3$ .

$f (0) = 0 + {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 15$

Этап 2.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 24 \cdot 0 + 15$

Этап 2.2.1.4

Умножим $- 24$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 15$

Этап 2.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 15$

Этап 2.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 15$

Этап 2.2.2.3

Добавим $0$ и $15$ .

$f (0) = 15$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $15$ .

$15$

Этап 2.3

Преобразуем $15$ в десятичное представление.

$y = 15$

Этап 3

Найдем точку в $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3}}{3} + {(- 2)}^{2} - 24 \cdot - 2 + 15$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 8}{3} + {(- 2)}^{2} - 24 \cdot - 2 + 15$

Этап 3.2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + {(- 2)}^{2} - 24 \cdot - 2 + 15$

Этап 3.2.1.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + 4 - 24 \cdot - 2 + 15$

Этап 3.2.1.4

Умножим $- 24$ на $- 2$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + 4 + 48 + 15$

Этап 3.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Запишем $4$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4}{1} + 48 + 15$

Этап 3.2.2.2

Умножим $\frac{4}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{3} + 48 + 15$

Этап 3.2.2.3

Умножим $\frac{4}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + 48 + 15$

Этап 3.2.2.4

Запишем $48$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{48}{1} + 15$

Этап 3.2.2.5

Умножим $\frac{48}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{48}{1} \cdot \frac{3}{3} + 15$

Этап 3.2.2.6

Умножим $\frac{48}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{48 \cdot 3}{3} + 15$

Этап 3.2.2.7

Запишем $15$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{48 \cdot 3}{3} + \frac{15}{1}$

Этап 3.2.2.8

Умножим $\frac{15}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{48 \cdot 3}{3} + \frac{15}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.2.2.9

Умножим $\frac{15}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{48 \cdot 3}{3} + \frac{15 \cdot 3}{3}$

Этап 3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 2) = \frac{- 8 + 4 \cdot 3 + 48 \cdot 3 + 15 \cdot 3}{3}$

Этап 3.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Умножим $4$ на $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 + 12 + 48 \cdot 3 + 15 \cdot 3}{3}$

Этап 3.2.4.2

Умножим $48$ на $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 + 12 + 144 + 15 \cdot 3}{3}$

Этап 3.2.4.3

Умножим $15$ на $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 + 12 + 144 + 45}{3}$

Этап 3.2.5

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Добавим $- 8$ и $12$ .

$f (- 2) = \frac{4 + 144 + 45}{3}$

Этап 3.2.5.2

Добавим $4$ и $144$ .

$f (- 2) = \frac{148 + 45}{3}$

Этап 3.2.5.3

Добавим $148$ и $45$ .

$f (- 2) = \frac{193}{3}$

Этап 3.2.6

Окончательный ответ: $\frac{193}{3}$ .

$\frac{193}{3}$

Этап 3.3

Преобразуем $\frac{193}{3}$ в десятичное представление.

$y = 64.\overline{3}$

Этап 4

Найдем точку в $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{3}}{3} + {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 15$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 1}{3} + {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 15$

Этап 4.2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 15$

Этап 4.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + 1 - 24 \cdot - 1 + 15$

Этап 4.2.1.4

Умножим $- 24$ на $- 1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + 1 + 24 + 15$

Этап 4.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{1}{1} + 24 + 15$

Этап 4.2.2.2

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3} + 24 + 15$

Этап 4.2.2.3

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + 24 + 15$

Этап 4.2.2.4

Запишем $24$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{24}{1} + 15$

Этап 4.2.2.5

Умножим $\frac{24}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{24}{1} \cdot \frac{3}{3} + 15$

Этап 4.2.2.6

Умножим $\frac{24}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{24 \cdot 3}{3} + 15$

Этап 4.2.2.7

Запишем $15$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{24 \cdot 3}{3} + \frac{15}{1}$

Этап 4.2.2.8

Умножим $\frac{15}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{24 \cdot 3}{3} + \frac{15}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 4.2.2.9

Умножим $\frac{15}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{24 \cdot 3}{3} + \frac{15 \cdot 3}{3}$

Этап 4.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 1) = \frac{- 1 + 3 + 24 \cdot 3 + 15 \cdot 3}{3}$

Этап 4.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Умножим $24$ на $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 3 + 72 + 15 \cdot 3}{3}$

Этап 4.2.4.2

Умножим $15$ на $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 3 + 72 + 45}{3}$

Этап 4.2.5

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Добавим $- 1$ и $3$ .

$f (- 1) = \frac{2 + 72 + 45}{3}$

Этап 4.2.5.2

Добавим $2$ и $72$ .

$f (- 1) = \frac{74 + 45}{3}$

Этап 4.2.5.3

Добавим $74$ и $45$ .

$f (- 1) = \frac{119}{3}$

Этап 4.2.6

Окончательный ответ: $\frac{119}{3}$ .

$\frac{119}{3}$

Этап 4.3

Преобразуем $\frac{119}{3}$ в десятичное представление.

$y = 39.\overline{6}$

Этап 5

Найдем точку в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \frac{{(1)}^{3}}{3} + {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 15$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = \frac{1}{3} + {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 15$

Этап 5.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = \frac{1}{3} + 1 - 24 \cdot 1 + 15$

Этап 5.2.1.3

Умножим $- 24$ на $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + 1 - 24 + 15$

Этап 5.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{1} - 24 + 15$

Этап 5.2.2.2

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3} - 24 + 15$

Этап 5.2.2.3

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} - 24 + 15$

Этап 5.2.2.4

Запишем $- 24$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 24}{1} + 15$

Этап 5.2.2.5

Умножим $\frac{- 24}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 24}{1} \cdot \frac{3}{3} + 15$

Этап 5.2.2.6

Умножим $\frac{- 24}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3} + 15$

Этап 5.2.2.7

Запишем $15$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3} + \frac{15}{1}$

Этап 5.2.2.8

Умножим $\frac{15}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3} + \frac{15}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 5.2.2.9

Умножим $\frac{15}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3} + \frac{15 \cdot 3}{3}$

Этап 5.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (1) = \frac{1 + 3 - 24 \cdot 3 + 15 \cdot 3}{3}$

Этап 5.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Умножим $- 24$ на $3$ .

$f (1) = \frac{1 + 3 - 72 + 15 \cdot 3}{3}$

Этап 5.2.4.2

Умножим $15$ на $3$ .

$f (1) = \frac{1 + 3 - 72 + 45}{3}$

Этап 5.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Добавим $1$ и $3$ .

$f (1) = \frac{4 - 72 + 45}{3}$

Этап 5.2.5.2

Вычтем $72$ из $4$ .

$f (1) = \frac{- 68 + 45}{3}$

Этап 5.2.5.3

Добавим $- 68$ и $45$ .

$f (1) = \frac{- 23}{3}$

Этап 5.2.5.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (1) = - \frac{23}{3}$

Этап 5.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{23}{3}$ .

$- \frac{23}{3}$

Этап 5.3

Преобразуем $- \frac{23}{3}$ в десятичное представление.

$y = - 7.\overline{6}$

Этап 6

График кубической функции можно построить, используя поведение функции и точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 87 \\ - 2 & 64.333 \\ - 1 & 39.667 \\ 0 & 15 \\ 1 & - 7.667 \end{array}$

Этап 7

График кубической функции можно построить, используя поведение функции и выбранные точки.

Убывает влево и возрастает вправо

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 87 \\ - 2 & 64.333 \\ - 1 & 39.667 \\ 0 & 15 \\ 1 & - 7.667 \end{array}$

Этап 8