Математический анализ Примеры

$x \sqrt{64 - x^{2}}$

Этап 1

Найдем область определения $y = x \sqrt{64 - x^{2}}$ , чтобы можно было выбрать список значений $x$ , то есть список точек, которые помогут составить график корня.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$(8 + x) (8 - x) \geq 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$8 + x = 0$

$8 - x = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем $8 + x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Приравняем $8 + x$ к $0$ .

$8 + x = 0$

Этап 1.2.2.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x = - 8$

Этап 1.2.3

Приравняем $8 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Приравняем $8 - x$ к $0$ .

$8 - x = 0$

Этап 1.2.3.2

Решим $8 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 8$

Этап 1.2.3.2.2

Разделим каждый член $- x = - 8$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 8$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 8}{- 1}$

Этап 1.2.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.3.1

Разделим $- 8$ на $- 1$ .

$x = 8$

Этап 1.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(8 + x) (8 - x) \geq 0$ верно.

$x = - 8, 8$

Этап 1.2.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 8$

$- 8 < x < 8$

$x > 8$

Этап 1.2.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 8$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 8$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 10$

Этап 1.2.6.1.2

Заменим $x$ на $- 10$ в исходном неравенстве.

$(8 - 10) (8 - (- 10)) \geq 0$

Этап 1.2.6.1.3

Левая часть $- 36$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 1.2.6.2

Проверим значение на интервале $- 8 < x < 8$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 8 < x < 8$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 1.2.6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$(8 + 0) (8 - (0)) \geq 0$

Этап 1.2.6.2.3

Левая часть $64$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 1.2.6.3

Проверим значение на интервале $x > 8$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 8$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 10$

Этап 1.2.6.3.2

Заменим $x$ на $10$ в исходном неравенстве.

$(8 + 10) (8 - (10)) \geq 0$

Этап 1.2.6.3.3

Левая часть $- 36$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 1.2.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 8$ Ложь

$- 8 < x < 8$ Истина

$x > 8$ Ложь

$x < - 8$ Ложь

$- 8 < x < 8$ Истина

$x > 8$ Ложь

Этап 1.2.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 8 \leq x \leq 8$

Этап 1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 8, 8]$

Обозначение построения множества:

${x | - 8 \leq x \leq 8}$

Интервальное представление:

$[- 8, 8]$

Обозначение построения множества:

${x | - 8 \leq x \leq 8}$

Этап 2

Чтобы найти конечные точки, подставим граничные значения $x$ из области определения в $f (x) = x \sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 8$ .

$f (- 8) = - 8 \sqrt{(8 - 8) (8 - (- 8))}$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$f (- 8) = - 8 \sqrt{(8 - 8) (8 - (- 8))}$

Этап 2.2.2

Вычтем $8$ из $8$ .

$f (- 8) = - 8 \sqrt{0 (8 - (- 8))}$

Этап 2.2.3

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$f (- 8) = - 8 \sqrt{0 (8 + 8)}$

Этап 2.2.4

Добавим $8$ и $8$ .

$f (- 8) = - 8 \sqrt{0 \cdot 16}$

Этап 2.2.5

Умножим $0$ на $16$ .

$f (- 8) = - 8 \sqrt{0}$

Этап 2.2.6

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$f (- 8) = - 8 \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.2.7

Умножим на ноль.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (- 8) = - 8 \cdot 0$

Этап 2.2.7.2

Умножим $- 8$ на $0$ .

$f (- 8) = 0$

Этап 2.2.8

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 2.3

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $8$ .

$f (8) = 8 \sqrt{(8 + 8) (8 - (8))}$

Этап 2.4

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Избавимся от скобок.

$f (8) = 8 \sqrt{(8 + 8) (8 - (8))}$

Этап 2.4.2

Добавим $8$ и $8$ .

$f (8) = 8 \sqrt{16 (8 - (8))}$

Этап 2.4.3

Умножим $- 1$ на $8$ .

$f (8) = 8 \sqrt{16 (8 - 8)}$

Этап 2.4.4

Вычтем $8$ из $8$ .

$f (8) = 8 \sqrt{16 \cdot 0}$

Этап 2.4.5

Умножим $16$ на $0$ .

$f (8) = 8 \sqrt{0}$

Этап 2.4.6

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$f (8) = 8 \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.4.7

Умножим на ноль.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.1

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (8) = 8 \cdot 0$

Этап 2.4.7.2

Умножим $8$ на $0$ .

$f (8) = 0$

Этап 2.4.8

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 3

Конечные точки: $(- 8, 0), (8, 0)$ .

$(- 8, 0), (8, 0)$

Этап 4

Выберем несколько значений $x$ из области определения. Удобнее будет выбрать значения $x$ , идущие сразу после начала области определения выражения с корнем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим значение $x$ $- 5$ в $f (x) = x \sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ . В данном случае получится точка $(- 5, - 5 \sqrt{39})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 5$ .

$f (- 5) = - 5 \sqrt{(8 - 5) (8 - (- 5))}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (- 5) = - 5 \sqrt{(8 - 5) (8 - (- 5))}$

Этап 4.1.2.2

Вычтем $5$ из $8$ .

$f (- 5) = - 5 \sqrt{3 (8 - (- 5))}$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$f (- 5) = - 5 \sqrt{3 (8 + 5)}$

Этап 4.1.2.4

Добавим $8$ и $5$ .

$f (- 5) = - 5 \sqrt{3 \cdot 13}$

Этап 4.1.2.5

Умножим $3$ на $13$ .

$f (- 5) = - 5 \sqrt{39}$

Этап 4.1.2.6

Окончательный ответ: $- 5 \sqrt{39}$ .

$y = - 5 \sqrt{39}$

Этап 4.2

Подставим значение $x$ $- 2$ в $f (x) = x \sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ . В данном случае получится точка $(- 2, - 4 \sqrt{15})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{(8 - 2) (8 - (- 2))}$

Этап 4.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Избавимся от скобок.

$f (- 2) = - 2 \sqrt{(8 - 2) (8 - (- 2))}$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $2$ из $8$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{6 (8 - (- 2))}$

Этап 4.2.2.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{6 (8 + 2)}$

Этап 4.2.2.4

Добавим $8$ и $2$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{6 \cdot 10}$

Этап 4.2.2.5

Умножим $6$ на $10$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{60}$

Этап 4.2.2.6

Перепишем $60$ в виде $2^{2} \cdot 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.6.1

Вынесем множитель $4$ из $60$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{4 (15)}$

Этап 4.2.2.6.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2^{2} \cdot 15}$

Этап 4.2.2.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- 2) = - 2 (2 \sqrt{15})$

Этап 4.2.2.8

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f (- 2) = - 4 \sqrt{15}$

Этап 4.2.2.9

Окончательный ответ: $- 4 \sqrt{15}$ .

$y = - 4 \sqrt{15}$

Этап 4.3

Подставим значение $x$ $1$ в $f (x) = x \sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ . В данном случае получится точка $(1, 3 \sqrt{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = 1 \sqrt{(8 + 1) (8 - (1))}$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Избавимся от скобок.

$f (1) = 1 \sqrt{(8 + 1) (8 - (1))}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $\sqrt{(8 + 1) (8 - (1))}$ на $1$ .

$f (1) = \sqrt{(8 + 1) (8 - (1))}$

Этап 4.3.2.3

Добавим $8$ и $1$ .

$f (1) = \sqrt{9 (8 - (1))}$

Этап 4.3.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = \sqrt{9 (8 - 1)}$

Этап 4.3.2.5

Вычтем $1$ из $8$ .

$f (1) = \sqrt{9 \cdot 7}$

Этап 4.3.2.6

Умножим $9$ на $7$ .

$f (1) = \sqrt{63}$

Этап 4.3.2.7

Перепишем $63$ в виде $3^{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.7.1

Вынесем множитель $9$ из $63$ .

$f (1) = \sqrt{9 (7)}$

Этап 4.3.2.7.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f (1) = \sqrt{3^{2} \cdot 7}$

Этап 4.3.2.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (1) = 3 \sqrt{7}$

Этап 4.3.2.9

Окончательный ответ: $3 \sqrt{7}$ .

$y = 3 \sqrt{7}$

Этап 4.4

Подставим значение $x$ $4$ в $f (x) = x \sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ . В данном случае получится точка $(4, 16 \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = 4 \sqrt{(8 + 4) (8 - (4))}$

Этап 4.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Избавимся от скобок.

$f (4) = 4 \sqrt{(8 + 4) (8 - (4))}$

Этап 4.4.2.2

Добавим $8$ и $4$ .

$f (4) = 4 \sqrt{12 (8 - (4))}$

Этап 4.4.2.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (4) = 4 \sqrt{12 (8 - 4)}$

Этап 4.4.2.4

Вычтем $4$ из $8$ .

$f (4) = 4 \sqrt{12 \cdot 4}$

Этап 4.4.2.5

Умножим $12$ на $4$ .

$f (4) = 4 \sqrt{48}$

Этап 4.4.2.6

Перепишем $48$ в виде $4^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.6.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$f (4) = 4 \sqrt{16 (3)}$

Этап 4.4.2.6.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$f (4) = 4 \sqrt{4^{2} \cdot 3}$

Этап 4.4.2.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (4) = 4 (4 \sqrt{3})$

Этап 4.4.2.8

Умножим $4$ на $4$ .

$f (4) = 16 \sqrt{3}$

Этап 4.4.2.9

Окончательный ответ: $16 \sqrt{3}$ .

$y = 16 \sqrt{3}$

Этап 4.5

Подставим значение $x$ $7$ в $f (x) = x \sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ . В данном случае получится точка $(7, 7 \sqrt{15})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $7$ .

$f (7) = 7 \sqrt{(8 + 7) (8 - (7))}$

Этап 4.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Избавимся от скобок.

$f (7) = 7 \sqrt{(8 + 7) (8 - (7))}$

Этап 4.5.2.2

Добавим $8$ и $7$ .

$f (7) = 7 \sqrt{15 (8 - (7))}$

Этап 4.5.2.3

Умножим $- 1$ на $7$ .

$f (7) = 7 \sqrt{15 (8 - 7)}$

Этап 4.5.2.4

Вычтем $7$ из $8$ .

$f (7) = 7 \sqrt{15 \cdot 1}$

Этап 4.5.2.5

Умножим $15$ на $1$ .

$f (7) = 7 \sqrt{15}$

Этап 4.5.2.6

Окончательный ответ: $7 \sqrt{15}$ .

$y = 7 \sqrt{15}$

Этап 4.6

График квадратного корня можно построить с помощью точек вокруг вершины $(- 8, 0), (8, 0), (- 5, - 31.22), (- 2, - 15.49), (1, 7.94), (4, 27.71), (7, 27.11)$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ - 8 & 0 \\ - 5 & - 31.22 \\ - 2 & - 15.49 \\ 1 & 7.94 \\ 4 & 27.71 \\ 7 & 27.11 \\ 8 & 0 \end{array}$

Этап 5