Математический анализ Примеры

$2 \cos (θ) + \sqrt{2} = 0$

Этап 1

Вычтем $\sqrt{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 \cos (θ) = - \sqrt{2}$

Этап 2

Разделим каждый член $2 \cos (θ) = - \sqrt{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $2 \cos (θ) = - \sqrt{2}$ на $2$ .

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $\cos (θ)$ на $1$ .

$\cos (θ) = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Точное значение $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ : $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Этап 5

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Этап 6

Упростим $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Этап 6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Этап 6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Этап 6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $4$ на $2$ .

$θ = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Этап 6.3.2

Вычтем $3 π$ из $8 π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Этап 7

Найдем период $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 8

Период функции $\cos (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$