Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{16 x - 2}$

Этап 1

Найдем область определения $y = \sqrt{16 x - 2}$ , чтобы можно было выбрать список значений $x$ , то есть список точек, которые помогут составить график корня.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{2 (8 x - 1)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$2 (8 x - 1) \geq 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разделим каждый член $2 (8 x - 1) \geq 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Разделим каждый член $2 (8 x - 1) \geq 0$ на $2$ .

$\frac{2 (8 x - 1)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Этап 1.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (8 x - 1)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Этап 1.2.1.2.1.2

Разделим $8 x - 1$ на $1$ .

$8 x - 1 \geq \frac{0}{2}$

Этап 1.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$8 x - 1 \geq 0$

Этап 1.2.2

Добавим $1$ к обеим частям неравенства.

$8 x \geq 1$

Этап 1.2.3

Разделим каждый член $8 x \geq 1$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Разделим каждый член $8 x \geq 1$ на $8$ .

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{1}{8}$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{1}{8}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{1}{8}$

Этап 1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[\frac{1}{8}, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq \frac{1}{8}}$

Интервальное представление:

$[\frac{1}{8}, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq \frac{1}{8}}$

Этап 2

Чтобы найти конечную точку графика выражения с радикалом, подставим $x$ значение $\frac{1}{8}$ , которое является наименьшим значением в области определения, в уравнение $f (x) = \sqrt{2 (8 x - 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{8}$ .

$f (\frac{1}{8}) = \sqrt{2 (8 (\frac{1}{8}) - 1)}$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{8}) = \sqrt{2 (8 (\frac{1}{8}) - 1)}$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{8}) = \sqrt{2 (1 - 1)}$

Этап 2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (\frac{1}{8}) = \sqrt{2 \cdot 0}$

Этап 2.2.2.2

Умножим $2$ на $0$ .

$f (\frac{1}{8}) = \sqrt{0}$

Этап 2.2.2.3

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$f (\frac{1}{8}) = \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.2.2.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (\frac{1}{8}) = 0$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 3

Конечная точка подкоренного выражения: $(\frac{1}{8}, 0)$ .

$(\frac{1}{8}, 0)$

Этап 4

Выберем несколько значений $x$ из области определения. Удобнее будет выбрать значения $x$ , идущие сразу после начала области определения выражения с корнем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим значение $x$ $1$ в $f (x) = \sqrt{2 (8 x - 1)}$ . В данном случае получится точка $(1, \sqrt{14})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \sqrt{2 (8 (1) - 1)}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $8$ на $1$ .

$f (1) = \sqrt{2 (8 - 1)}$

Этап 4.1.2.2

Вычтем $1$ из $8$ .

$f (1) = \sqrt{2 \cdot 7}$

Этап 4.1.2.3

Умножим $2$ на $7$ .

$f (1) = \sqrt{14}$

Этап 4.1.2.4

Окончательный ответ: $\sqrt{14}$ .

$y = \sqrt{14}$

Этап 4.2

Подставим значение $x$ $2$ в $f (x) = \sqrt{2 (8 x - 1)}$ . В данном случае получится точка $(2, \sqrt{30})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \sqrt{2 (8 (2) - 1)}$

Этап 4.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $8$ на $2$ .

$f (2) = \sqrt{2 (16 - 1)}$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $1$ из $16$ .

$f (2) = \sqrt{2 \cdot 15}$

Этап 4.2.2.3

Умножим $2$ на $15$ .

$f (2) = \sqrt{30}$

Этап 4.2.2.4

Окончательный ответ: $\sqrt{30}$ .

$y = \sqrt{30}$

Этап 4.3

График квадратного корня можно построить с помощью точек вокруг вершины $(0.125, 0), (1, 3.74), (2, 5.48)$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ 0.125 & 0 \\ 1 & 3.74 \\ 2 & 5.48 \end{array}$

Этап 5