Математический анализ Примеры

$y = - 2 \cos (\frac{3}{4} x)$

Этап 1

Применим форму $a \cos (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = - 2$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 0$

$d = 0$

Этап 2

Найдем амплитуду $| a |$ .

Амплитуда: $2$

Этап 3

Найдем период $- 2 \cos (\frac{3 x}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2

Заменим $b$ на $\frac{3}{4}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{3}{4} |}$

Этап 3.3

$\frac{3}{4}$ приблизительно равно $0.75$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{3}{4}}$

Этап 3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \frac{4}{3}$

Этап 3.5

Умножим $2 π \frac{4}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Объединим $\frac{4}{3}$ и $2$ .

$\frac{4 \cdot 2}{3} π$

Этап 3.5.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{8}{3} π$

Этап 3.5.3

Объединим $\frac{8}{3}$ и $π$ .

$\frac{8 π}{3}$

Этап 4

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 4.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{0}{\frac{3}{4}}$

Этап 4.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

Сдвиг фазы: $0 (\frac{4}{3})$

Этап 4.4

Умножим $0$ на $\frac{4}{3}$ .

Сдвиг фазы: $0$

Этап 5

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: $2$

Период: $\frac{8 π}{3}$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

Этап 6

Выберем несколько точек для построения графика.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем точку в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = - 2 \cos (\frac{3 (0)}{4})$

Этап 6.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $3 (0)$ .

$f (0) = - 2 \cos (\frac{4 (3 \cdot (0))}{4})$

Этап 6.1.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$f (0) = - 2 \cos (\frac{4 (3 \cdot (0))}{4 (1)})$

Этап 6.1.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (0) = - 2 \cos (\frac{4 (3 \cdot (0))}{4 \cdot 1})$

Этап 6.1.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (0) = - 2 \cos (\frac{3 \cdot (0)}{1})$

Этап 6.1.2.1.2.4

Разделим $3 \cdot (0)$ на $1$ .

$f (0) = - 2 \cos (3 \cdot (0))$

Этап 6.1.2.2

Умножим $3$ на $0$ .

$f (0) = - 2 \cos (0)$

Этап 6.1.2.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (0) = - 2 \cdot 1$

Этап 6.1.2.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f (0) = - 2$

Этап 6.1.2.5

Окончательный ответ: $- 2$ .

$- 2$

Этап 6.2

Найдем точку в $x = \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{3 (\frac{2 π}{3})}{4})$

Этап 6.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Объединим $3$ и $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{4})$

Этап 6.2.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{6 π}{3}}{4})$

Этап 6.2.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Сократим выражение $\frac{6 π}{3}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{4})$

Этап 6.2.2.3.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 (1)}}{4})$

Этап 6.2.2.3.1.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}}{4})$

Этап 6.2.2.3.1.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 π}{1}}{4})$

Этап 6.2.2.3.2

Разделим $2 π$ на $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{2 π}{4})$

Этап 6.2.2.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{2 (π)}{4})$

Этап 6.2.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

Этап 6.2.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

Этап 6.2.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{π}{2})$

Этап 6.2.2.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 \cdot 0$

Этап 6.2.2.6

Умножим $- 2$ на $0$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 0$

Этап 6.2.2.7

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 6.3

Найдем точку в $x = \frac{4 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{4 π}{3}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{3 (\frac{4 π}{3})}{4})$

Этап 6.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Объединим $3$ и $\frac{4 π}{3}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 (4 π)}{3}}{4})$

Этап 6.3.2.2

Умножим $3$ на $4$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{12 π}{3}}{4})$

Этап 6.3.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1

Сократим выражение $\frac{12 π}{3}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $12 π$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 (4 π)}{3}}{4})$

Этап 6.3.2.3.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 (4 π)}{3 (1)}}{4})$

Этап 6.3.2.3.1.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 (4 π)}{3 \cdot 1}}{4})$

Этап 6.3.2.3.1.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{4 π}{1}}{4})$

Этап 6.3.2.3.2

Разделим $4 π$ на $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{4 π}{4})$

Этап 6.3.2.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{4 π}{4})$

Этап 6.3.2.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \cos (π)$

Этап 6.3.2.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 (- \cos (0))$

Этап 6.3.2.6

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 (- 1 \cdot 1)$

Этап 6.3.2.7

Умножим $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.7.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \cdot - 1$

Этап 6.3.2.7.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2$

Этап 6.3.2.8

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 6.4

Найдем точку в $x = 2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2 π$ .

$f (2 π) = - 2 \cos (\frac{3 (2 π)}{4})$

Этап 6.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $3 (2 π)$ .

$f (2 π) = - 2 \cos (\frac{2 (3 (π))}{4})$

Этап 6.4.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (2 π) = - 2 \cos (\frac{2 (3 (π))}{2 \cdot 2})$

Этап 6.4.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (2 π) = - 2 \cos (\frac{2 (3 (π))}{2 \cdot 2})$

Этап 6.4.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (2 π) = - 2 \cos (\frac{3 (π)}{2})$

Этап 6.4.2.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (2 π) = - 2 \cos (\frac{π}{2})$

Этап 6.4.2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (2 π) = - 2 \cdot 0$

Этап 6.4.2.4

Умножим $- 2$ на $0$ .

$f (2 π) = 0$

Этап 6.4.2.5

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 6.5

Найдем точку в $x = \frac{8 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{8 π}{3}$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{3 (\frac{8 π}{3})}{4})$

Этап 6.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Объединим $3$ и $\frac{8 π}{3}$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 (8 π)}{3}}{4})$

Этап 6.5.2.2

Умножим $3$ на $8$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{24 π}{3}}{4})$

Этап 6.5.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1

Сократим выражение $\frac{24 π}{3}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $24 π$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 (8 π)}{3}}{4})$

Этап 6.5.2.3.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 (8 π)}{3 (1)}}{4})$

Этап 6.5.2.3.1.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 (8 π)}{3 \cdot 1}}{4})$

Этап 6.5.2.3.1.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{8 π}{1}}{4})$

Этап 6.5.2.3.2

Разделим $8 π$ на $1$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{8 π}{4})$

Этап 6.5.2.4

Сократим общий множитель $8$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8 π$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{4 (2 π)}{4})$

Этап 6.5.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{4 (2 π)}{4 (1)})$

Этап 6.5.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{4 (2 π)}{4 \cdot 1})$

Этап 6.5.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{2 π}{1})$

Этап 6.5.2.4.2.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cos (2 π)$

Этап 6.5.2.5

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cos (0)$

Этап 6.5.2.6

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cdot 1$

Этап 6.5.2.7

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2$

Этап 6.5.2.8

Окончательный ответ: $- 2$ .

$- 2$

Этап 6.6

Перечислим точки в таблице.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & - 2 \\ \frac{2 π}{3} & 0 \\ \frac{4 π}{3} & 2 \\ 2 π & 0 \\ \frac{8 π}{3} & - 2 \end{array}$

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Амплитуда: $2$

Период: $\frac{8 π}{3}$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & - 2 \\ \frac{2 π}{3} & 0 \\ \frac{4 π}{3} & 2 \\ 2 π & 0 \\ \frac{8 π}{3} & - 2 \end{array}$

Этап 8