Математический анализ Примеры

$y = x \sqrt{8 - x^{2}}$

Этап 1

Найдем область определения $y = x \sqrt{8 - x^{2}}$ , чтобы можно было выбрать список значений $x$ , то есть список точек, которые помогут составить график корня.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{8 - x^{2}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$8 - x^{2} \geq 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $8$ из обеих частей неравенства.

$- x^{2} \geq - 8$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 8$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} \geq - 8$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Этап 1.2.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Разделим $- 8$ на $- 1$ .

$x^{2} \leq 8$

Этап 1.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{8}$

Этап 1.2.4

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq \sqrt{8}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим $\sqrt{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$| x | \leq \sqrt{4 (2)}$

Этап 1.2.4.2.1.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| x | \leq | 2 | \sqrt{2}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$| x | \leq 2 \sqrt{2}$

Этап 1.2.5

Запишем $| x | \leq 2 \sqrt{2}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 1.2.5.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x \leq 2 \sqrt{2}$

Этап 1.2.5.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 1.2.5.4

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x \leq 2 \sqrt{2}$

Этап 1.2.5.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} x \leq 2 \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq 2 \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Этап 1.2.6

Найдем пересечение $x \leq 2 \sqrt{2}$ и $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 2 \sqrt{2}$

Этап 1.2.7

Решим $- x \leq 2 \sqrt{2}$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Разделим каждый член $- x \leq 2 \sqrt{2}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.1

Разделим каждый член $- x \leq 2 \sqrt{2}$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Этап 1.2.7.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Этап 1.2.7.1.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Этап 1.2.7.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot (2 \sqrt{2})$

Этап 1.2.7.1.3.2

Перепишем $- 1 \cdot (2 \sqrt{2})$ в виде $- (2 \sqrt{2})$ .

$x \geq - (2 \sqrt{2})$

Этап 1.2.7.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x \geq - 2 \sqrt{2}$

Этап 1.2.7.2

Найдем пересечение $x \geq - 2 \sqrt{2}$ и $x < 0$ .

$- 2 \sqrt{2} \leq x < 0$

Этап 1.2.8

Найдем объединение решений.

$- 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}$

Этап 1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}]$

Обозначение построения множества:

${x | - 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}}$

Интервальное представление:

$[- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}]$

Обозначение построения множества:

${x | - 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}}$

Этап 2

Чтобы найти конечные точки, подставим граничные значения $x$ из области определения в $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = (- 2 \sqrt{2}) \sqrt{8 - {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим правило умножения к $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - ({(- 2)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

Этап 2.2.1.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 {\sqrt{2}}^{2})}$

Этап 2.2.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Этап 2.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Этап 2.2.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Этап 2.2.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Этап 2.2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2)}$

Этап 2.2.2.5

Найдем экспоненту.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2)}$

Этап 2.2.3

Умножим $- (4 \cdot 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Умножим $4$ на $2$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - 1 \cdot 8}$

Этап 2.2.3.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - 8}$

Этап 2.2.4

Вычтем $8$ из $8$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{0}$

Этап 2.2.5

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.2.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \cdot 0$

Этап 2.2.7

Умножим $- 2 \sqrt{2} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Умножим $0$ на $- 2$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 0 \sqrt{2}$

Этап 2.2.7.2

Умножим $0$ на $\sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 0$

Этап 2.2.8

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 2.3

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = (2 \sqrt{2}) \sqrt{8 - {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

Этап 2.4

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Применим правило умножения к $2 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (2^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

Этап 2.4.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 {\sqrt{2}}^{2})}$

Этап 2.4.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Этап 2.4.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Этап 2.4.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Этап 2.4.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Этап 2.4.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2)}$

Этап 2.4.2.5

Найдем экспоненту.

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2)}$

Этап 2.4.3

Умножим $- (4 \cdot 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Умножим $4$ на $2$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - 1 \cdot 8}$

Этап 2.4.3.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - 8}$

Этап 2.4.4

Вычтем $8$ из $8$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{0}$

Этап 2.4.5

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.4.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \cdot 0$

Этап 2.4.7

Умножим $2 \sqrt{2} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.1

Умножим $0$ на $2$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 0 \sqrt{2}$

Этап 2.4.7.2

Умножим $0$ на $\sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 0$

Этап 2.4.8

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 3

Конечные точки: $(- 2 \sqrt{2}, 0), (2 \sqrt{2}, 0)$ .

$(- 2 \sqrt{2}, 0), (2 \sqrt{2}, 0)$

Этап 4

Выберем несколько значений $x$ из области определения. Удобнее будет выбрать значения $x$ , идущие сразу после начала области определения выражения с корнем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим значение $x$ $- 1.82842712$ в $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ . В данном случае получится точка $(- 1.82842712, - 3.94569924)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.82842712$ .

$f (- 1.82842712) = (- 1.82842712) \sqrt{8 - {(- 1.82842712)}^{2}}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведем $- 1.82842712$ в степень $2$ .

$f (- 1.82842712) = - 1.82842712 \sqrt{8 - 1 \cdot 3.34314575}$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $3.34314575$ .

$f (- 1.82842712) = - 1.82842712 \sqrt{8 - 3.34314575}$

Этап 4.1.2.1.3

Вычтем $3.34314575$ из $8$ .

$f (- 1.82842712) = - 1.82842712 \sqrt{4.65685424}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 1.82842712$ на $\sqrt{4.65685424}$ .

$f (- 1.82842712) = - 3.94569924$

Этап 4.1.2.3

Окончательный ответ: $- 3.94569924$ .

$y = - 3.94569924$

Этап 4.2

Подставим значение $x$ $- 0.82842712$ в $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ . В данном случае получится точка $(- 0.82842712, - 2.24038746)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.82842712$ .

$f (- 0.82842712) = (- 0.82842712) \sqrt{8 - {(- 0.82842712)}^{2}}$

Этап 4.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Возведем $- 0.82842712$ в степень $2$ .

$f (- 0.82842712) = - 0.82842712 \sqrt{8 - 1 \cdot 0.6862915}$

Этап 4.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $0.6862915$ .

$f (- 0.82842712) = - 0.82842712 \sqrt{8 - 0.6862915}$

Этап 4.2.2.1.3

Вычтем $0.6862915$ из $8$ .

$f (- 0.82842712) = - 0.82842712 \sqrt{7.31370849}$

Этап 4.2.2.2

Умножим $- 0.82842712$ на $\sqrt{7.31370849}$ .

$f (- 0.82842712) = - 2.24038746$

Этап 4.2.2.3

Окончательный ответ: $- 2.24038746$ .

$y = - 2.24038746$

Этап 4.3

Подставим значение $x$ $0.17157287$ в $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ . В данном случае получится точка $(0.17157287, 0.48438771)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.17157287$ .

$f (0.17157287) = (0.17157287) \sqrt{8 - {(0.17157287)}^{2}}$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Возведем $0.17157287$ в степень $2$ .

$f (0.17157287) = 0.17157287 \sqrt{8 - 1 \cdot 0.02943725}$

Этап 4.3.2.1.2

Умножим $- 1$ на $0.02943725$ .

$f (0.17157287) = 0.17157287 \sqrt{8 - 0.02943725}$

Этап 4.3.2.1.3

Вычтем $0.02943725$ из $8$ .

$f (0.17157287) = 0.17157287 \sqrt{7.97056274}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $0.17157287$ на $\sqrt{7.97056274}$ .

$f (0.17157287) = 0.48438771$

Этап 4.3.2.3

Окончательный ответ: $0.48438771$ .

$y = 0.48438771$

Этап 4.4

Подставим значение $x$ $1.17157287$ в $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ . В данном случае получится точка $(1.17157287, 3.01607027)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.17157287$ .

$f (1.17157287) = (1.17157287) \sqrt{8 - {(1.17157287)}^{2}}$

Этап 4.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Возведем $1.17157287$ в степень $2$ .

$f (1.17157287) = 1.17157287 \sqrt{8 - 1 \cdot 1.372583}$

Этап 4.4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1.372583$ .

$f (1.17157287) = 1.17157287 \sqrt{8 - 1.372583}$

Этап 4.4.2.1.3

Вычтем $1.372583$ из $8$ .

$f (1.17157287) = 1.17157287 \sqrt{6.62741699}$

Этап 4.4.2.2

Умножим $1.17157287$ на $\sqrt{6.62741699}$ .

$f (1.17157287) = 3.01607027$

Этап 4.4.2.3

Окончательный ответ: $3.01607027$ .

$y = 3.01607027$

Этап 4.5

Подставим значение $x$ $2.17157287$ в $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ . В данном случае получится точка $(2.17157287, 3.93544563)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2.17157287$ .

$f (2.17157287) = (2.17157287) \sqrt{8 - {(2.17157287)}^{2}}$

Этап 4.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1

Возведем $2.17157287$ в степень $2$ .

$f (2.17157287) = 2.17157287 \sqrt{8 - 1 \cdot 4.71572875}$

Этап 4.5.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4.71572875$ .

$f (2.17157287) = 2.17157287 \sqrt{8 - 4.71572875}$

Этап 4.5.2.1.3

Вычтем $4.71572875$ из $8$ .

$f (2.17157287) = 2.17157287 \sqrt{3.28427124}$

Этап 4.5.2.2

Умножим $2.17157287$ на $\sqrt{3.28427124}$ .

$f (2.17157287) = 3.93544563$

Этап 4.5.2.3

Окончательный ответ: $3.93544563$ .

$y = 3.93544563$

Этап 4.6

График квадратного корня можно построить с помощью точек вокруг вершины $(- 2 \sqrt{2}, 0), (2 \sqrt{2}, 0), (- 1.82842712, - 3.95), (- 0.82842712, - 2.24), (0.17157287, 0.48), (1.17157287, 3.02), (2.17157287, 3.94)$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 \sqrt{2} & 0 \\ - 1.828 & - 3.95 \\ - 0.828 & - 2.24 \\ 0.172 & 0.48 \\ 1.172 & 3.02 \\ 2.172 & 3.94 \\ 2 \sqrt{2} & 0 \end{array}$

Этап 5