Математический анализ Примеры

$y = \log (2 x + 7) - 5$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем, где выражение $\log (2 x + 7) - 5$ не определено.

$x \leq - \frac{7}{2}$

Этап 1.2

Поскольку $\log (2 x + 7) - 5$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $- \frac{7}{2}$ слева, а $\log (2 x + 7) - 5$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $- \frac{7}{2}$ справа, то $x = - \frac{7}{2}$ — вертикальная асимптота.

$x = - \frac{7}{2}$

Этап 1.3

Игнорируя логарифм, рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 1.4

Горизонтальные асимптоты отсутствуют, поскольку $Q (x)$ равно $1$ .

Нет горизонтальных асимптот

Этап 1.5

У логарифмических и тригонометрических функций нет наклонных асимптот.

Нет наклонных асимптот

Этап 1.6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - \frac{7}{2}$

Нет горизонтальных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = - \frac{7}{2}$

Нет горизонтальных асимптот

Этап 2

Найдем точку в $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = \log (2 (- 2) + 7) - 5$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f (- 2) = \log (- 4 + 7) - 5$

Этап 2.2.1.2

Добавим $- 4$ и $7$ .

$f (- 2) = \log (3) - 5$

Этап 2.2.2

Окончательный ответ: $\log (3) - 5$ .

$\log (3) - 5$

Этап 2.3

Преобразуем $\log (3) - 5$ в десятичное представление.

$y = - 4.52287874$

Этап 3

Найдем точку в $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = \log (2 (- 1) + 7) - 5$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (- 1) = \log (- 2 + 7) - 5$

Этап 3.2.1.2

Добавим $- 2$ и $7$ .

$f (- 1) = \log (5) - 5$

Этап 3.2.2

Окончательный ответ: $\log (5) - 5$ .

$\log (5) - 5$

Этап 3.3

Преобразуем $\log (5) - 5$ в десятичное представление.

$y = - 4.30102999$

Этап 4

Найдем точку в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \log (2 (0) + 7) - 5$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$f (0) = \log (0 + 7) - 5$

Этап 4.2.1.2

Добавим $0$ и $7$ .

$f (0) = \log (7) - 5$

Этап 4.2.2

Окончательный ответ: $\log (7) - 5$ .

$\log (7) - 5$

Этап 4.3

Преобразуем $\log (7) - 5$ в десятичное представление.

$y = - 4.15490195$

Этап 5

График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке $x = - \frac{7}{2}$ и точек $(- 2, - 4.52287874), (- 1, - 4.30102999), (0, - 4.15490195)$ .

Вертикальная асимптота: $x = - \frac{7}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 4.523 \\ - 1 & - 4.301 \\ 0 & - 4.155 \end{array}$

Этап 6