Математический анализ Примеры

$\frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$

Этап 1

Найдем область определения $y = \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$ , чтобы можно было выбрать список значений $x$ , то есть список точек, которые помогут составить график корня.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{2 x - 1}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$2 x - 1 \geq 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Добавим $1$ к обеим частям неравенства.

$2 x \geq 1$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $2 x \geq 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $2 x \geq 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{1}{2}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{1}{2}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{1}{2}$

Этап 1.3

Зададим знаменатель в $\frac{x \sqrt{2 x - 1}}{2 x - 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 x - 1 = 0$

Этап 1.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 1.4.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 1.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 1.4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 1.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(\frac{1}{2}, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > \frac{1}{2}}$

Интервальное представление:

$(\frac{1}{2}, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > \frac{1}{2}}$

Этап 2

Чтобы найти конечную точку графика выражения с радикалом, подставим $x$ значение $\frac{1}{2}$ , которое является наименьшим значением в области определения, в уравнение $f (x) = \frac{x \sqrt{2 x - 1}}{2 x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{(\frac{1}{2}) \sqrt{2 (\frac{1}{2}) - 1}}{2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{(\frac{1}{2}) \sqrt{2 (\frac{1}{2}) - 1}}{2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Этап 2.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{(\frac{1}{2}) \sqrt{2 (\frac{1}{2}) - 1}}{1 - 1}$

Этап 2.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{(\frac{1}{2}) \sqrt{2 (\frac{1}{2}) - 1}}{0}$

Этап 2.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

$f (\frac{1}{2}) = Undefined$

Неопределенные

Этап 3

Конечная точка подкоренного выражения: $(\frac{1}{2}, Undefined)$ .

$(\frac{1}{2}, Undefined)$

Этап 4

Выберем несколько значений $x$ из области определения. Удобнее будет выбрать значения $x$ , идущие сразу после начала области определения выражения с корнем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим значение $x$ $1$ в $f (x) = \frac{x \sqrt{2 x - 1}}{2 x - 1}$ . В данном случае получится точка $(1, 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \frac{(1) \sqrt{2 (1) - 1}}{2 (1) - 1}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $\sqrt{2 (1) - 1}$ на $1$ .

$f (1) = \frac{\sqrt{2 (1) - 1}}{2 (1) - 1}$

Этап 4.1.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$f (1) = \frac{\sqrt{2 (1) - 1}}{2 - 1}$

Этап 4.1.2.2.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$f (1) = \frac{\sqrt{2 (1) - 1}}{1}$

Этап 4.1.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$f (1) = \frac{\sqrt{2 - 1}}{1}$

Этап 4.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$f (1) = \frac{\sqrt{1}}{1}$

Этап 4.1.2.3.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (1) = \frac{1}{1}$

Этап 4.1.2.4

Разделим $1$ на $1$ .

$f (1) = 1$

Этап 4.1.2.5

Окончательный ответ: $1$ .

$y = 1$

Этап 4.2

Подставим значение $x$ $2$ в $f (x) = \frac{x \sqrt{2 x - 1}}{2 x - 1}$ . В данном случае получится точка $(2, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \frac{(2) \sqrt{2 (2) - 1}}{2 (2) - 1}$

Этап 4.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f (2) = \frac{2 \sqrt{4 - 1}}{2 (2) - 1}$

Этап 4.2.2.1.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$f (2) = \frac{2 \sqrt{3}}{2 (2) - 1}$

Этап 4.2.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f (2) = \frac{2 \sqrt{3}}{4 - 1}$

Этап 4.2.2.2.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$f (2) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 4.2.2.3

Окончательный ответ: $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 4.3

Подставим значение $x$ $3$ в $f (x) = \frac{x \sqrt{2 x - 1}}{2 x - 1}$ . В данном случае получится точка $(3, \frac{3 \sqrt{5}}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = \frac{(3) \sqrt{2 (3) - 1}}{2 (3) - 1}$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Умножим $2$ на $3$ .

$f (3) = \frac{3 \sqrt{6 - 1}}{2 (3) - 1}$

Этап 4.3.2.1.2

Вычтем $1$ из $6$ .

$f (3) = \frac{3 \sqrt{5}}{2 (3) - 1}$

Этап 4.3.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Умножим $2$ на $3$ .

$f (3) = \frac{3 \sqrt{5}}{6 - 1}$

Этап 4.3.2.2.2

Вычтем $1$ из $6$ .

$f (3) = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Этап 4.3.2.3

Окончательный ответ: $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Этап 4.4

График квадратного корня можно построить с помощью точек вокруг вершины $(0.5, Undefined), (1, 1), (2, 1.15), (3, 1.34)$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ 0.5 & Undefined \\ 1 & 1 \\ 2 & 1.15 \\ 3 & 1.34 \end{array}$

Этап 5