Математический анализ Примеры

$f (t) = 10 e^{\frac{1}{2} t}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $t$ .

$\frac{d}{d t} [10 e^{\frac{t}{2}}]$

Этап 1.2

Поскольку $10$ является константой относительно $t$ , производная $10 e^{\frac{t}{2}}$ по $t$ равна $10 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}]$ .

$10 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = e^{t}$ и $g (t) = \frac{t}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{t}{2}$ .

$10 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$10 (e^{u} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{t}{2}$ .

$10 (e^{\frac{t}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{t}{2}$ по $t$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$10 e^{\frac{t}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $10$ .

$\frac{10}{2} e^{\frac{t}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 3.2.2

Объединим $\frac{10}{2}$ и $e^{\frac{t}{2}}$ .

$\frac{10 e^{\frac{t}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель $10$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $10 e^{\frac{t}{2}}$ .

$\frac{2 (5 e^{\frac{t}{2}})}{2} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 3.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (5 e^{\frac{t}{2}})}{2 (1)} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 3.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (5 e^{\frac{t}{2}})}{2 \cdot 1} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 3.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5 e^{\frac{t}{2}}}{1} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 3.2.3.2.4

Разделим $5 e^{\frac{t}{2}}$ на $1$ .

$5 e^{\frac{t}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 e^{\frac{t}{2}} \cdot 1$

Этап 3.4

Умножим $5$ на $1$ .

$5 e^{\frac{t}{2}}$