Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{x^{2} + x}$

Этап 1

Find the domain to determine if the expression is continuous.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x^{2} + x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{2} + x \geq 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} + x = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x + x = 0$

Этап 1.2.2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x \cdot x + x = 0$

Этап 1.2.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$x \cdot x + x \cdot 1 = 0$

Этап 1.2.2.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$x (x + 1) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 1.2.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x + 1) = 0$ верно.

$x = 0, - 1$

Этап 1.2.7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

Этап 1.2.8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Проверим значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 1.2.8.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

${(- 4)}^{2} - 4 \geq 0$

Этап 1.2.8.1.3

Левая часть $12$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 1.2.8.2

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 0.5$

Этап 1.2.8.2.2

Заменим $x$ на $- 0.5$ в исходном неравенстве.

${(- 0.5)}^{2} - 0.5 \geq 0$

Этап 1.2.8.2.3

Левая часть $- 0.25$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 1.2.8.3

Проверим значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.3.1

Выберем значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 1.2.8.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

${(2)}^{2} + 2 \geq 0$

Этап 1.2.8.3.3

Левая часть $6$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 1.2.8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 0$ Ложь

$x > 0$ Истина

$x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 0$ Ложь

$x > 0$ Истина

Этап 1.2.9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 1$ или $x \geq 0$

Этап 1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 1] \cup [0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq - 1, x \geq 0}$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 1] \cup [0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq - 1, x \geq 0}$

Этап 2

Поскольку область определения — это не все вещественные числа, $\sqrt{x^{2} + x}$ не является непрерывной на множестве всех вещественных чисел.

Не является непрерывной

Этап 3