Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + x - 2}$

Этап 1

Найдем область определения для проверки непрерывности выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим знаменатель в $\frac{x - 1}{x^{2} + x - 2}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} + x - 2 = 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разложим $x^{2} + x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $1$ .

$- 1, 2$

Этап 1.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 1) (x + 2) = 0$

Этап 1.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 1.2.3

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 1.2.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 1.2.4

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 1.2.4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 1.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 1, - 2$

Этап 1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 1) \cup (1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 1, - 2}$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 1) \cup (1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 1, - 2}$

Этап 2

Поскольку область определения — это не все вещественные числа, $\frac{x - 1}{x^{2} + x - 2}$ не является непрерывной на множестве всех вещественных чисел.

Не является непрерывной

Этап 3