Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{\frac{x}{x - 2}}$

Этап 1

Find the domain to determine if the expression is continuous.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{\frac{x}{x - 2}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{x}{x - 2} \geq 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 1.2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 1.2.3

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0$

$x = 2$

Этап 1.2.4

Объединим решения.

$x = 0, 2$

Этап 1.2.5

Найдем область определения $\frac{x}{x - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Зададим знаменатель в $\frac{x}{x - 2}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 2 = 0$

Этап 1.2.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 1.2.5.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 1.2.6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Этап 1.2.7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 1.2.7.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\frac{- 2}{(- 2) - 2} \geq 0$

Этап 1.2.7.1.3

Левая часть $0.5$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 1.2.7.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 1.2.7.2.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{(1) - 2} \geq 0$

Этап 1.2.7.2.3

Левая часть $- 1$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 1.2.7.3

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.3.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 1.2.7.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{4}{(4) - 2} \geq 0$

Этап 1.2.7.3.3

Левая часть $2$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 1.2.7.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Истина

$0 < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

$x < 0$ Истина

$0 < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

Этап 1.2.8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq 0$ или $x > 2$

Этап 1.3

Зададим знаменатель в $\frac{x}{x - 2}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 2 = 0$

Этап 1.4

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 1.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 0] \cup (2, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq 0, x > 2}$

Интервальное представление:

$(- \infty, 0] \cup (2, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq 0, x > 2}$

Этап 2

Поскольку область определения — это не все вещественные числа, $\sqrt{\frac{x}{x - 2}}$ не является непрерывной на множестве всех вещественных чисел.

Не является непрерывной

Этап 3