Математический анализ Примеры

$y = 2 \cot (2 x - 5 π) + 2$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вертикальные асимптоты функции $y = \cot (x)$ находятся в точках $x = n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(0, π)$ для $y = \cot (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = 2 \cot (2 x - 5 π) + 2$ . Положив аргумент котангенса, $b x + c$ , равным $0$ в выражении $y = a \cot (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = 2 \cot (2 x - 5 π) + 2$ .

$2 x - 5 π = 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Добавим $5 π$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 5 π$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $2 x = 5 π$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 5 π$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5 π}{2}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5 π}{2}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{5 π}{2}$

Этап 1.3

Приравняем аргумент $2 x - 5 π$ функции котангенса к $π$ .

$2 x - 5 π = π$

Этап 1.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Добавим $5 π$ к обеим частям уравнения.

$2 x = π + 5 π$

Этап 1.4.1.2

Добавим $π$ и $5 π$ .

$2 x = 6 π$

Этап 1.4.2

Разделим каждый член $2 x = 6 π$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Разделим каждый член $2 x = 6 π$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{6 π}{2}$

Этап 1.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{6 π}{2}$

Этап 1.4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{6 π}{2}$

Этап 1.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.1

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6 π$ .

$x = \frac{2 (3 π)}{2}$

Этап 1.4.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$x = \frac{2 (3 π)}{2 (1)}$

Этап 1.4.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 (3 π)}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{3 π}{1}$

Этап 1.4.2.3.1.2.4

Разделим $3 π$ на $1$ .

$x = 3 π$

Этап 1.5

Основной период $y = 2 \cot (2 x - 5 π) + 2$ находится на промежутке $(\frac{5 π}{2}, 3 π)$ , где $\frac{5 π}{2}$ и $3 π$ являются вертикальными асимптотами.

$(\frac{5 π}{2}, 3 π)$

Этап 1.6

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{π}{2}$

Этап 1.7

Вертикальные асимптоты $y = 2 \cot (2 x - 5 π) + 2$ находятся в точках $\frac{5 π}{2}$ , $3 π$ и в каждой точке $x = \frac{5 π}{2} + \frac{π n}{2}$ , где $n$ ― целое число.

$x = \frac{5 π}{2} + \frac{π n}{2}$

Этап 1.8

Котангенс имеет только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{5 π}{2} + \frac{π n}{2}$ , где $n$ — целое число

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{5 π}{2} + \frac{π n}{2}$ , где $n$ — целое число

Этап 2

Применим форму $a \cot (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = 2$

$b = 2$

$c = 5 π$

$d = 2$

Этап 3

Поскольку график функции $c o t$ не имеет максимального или минимального значения, его амплитуда не может быть определена.

Амплитуда: нет

Этап 4

Найдем период, используя формулу $\frac{π}{| b |}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем период $2 \cot (2 x - 5 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 4.1.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 2 |}$

Этап 4.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{π}{2}$

Этап 4.2

Найдем период $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 4.2.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 2 |}$

Этап 4.2.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{π}{2}$

Этап 4.3

Период суммы/разности тригонометрических функций равен наибольшему из отдельных периодов.

$\frac{π}{2}$

Этап 5

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 5.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{5 π}{2}$

Этап 6

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: нет

Период: $\frac{π}{2}$

Сдвиг фазы: $\frac{5 π}{2}$ ( $\frac{5 π}{2}$ вправо)

Смещение по вертикали: $2$

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{5 π}{2} + \frac{π n}{2}$ , где $n$ — целое число

Амплитуда: нет

Период: $\frac{π}{2}$

Сдвиг фазы: $\frac{5 π}{2}$ ( $\frac{5 π}{2}$ вправо)

Смещение по вертикали: $2$

Этап 8