Математический анализ Примеры

$y = t^{7} {(t^{5} - 6)}^{3}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (t^{7} {(t^{5} - 6)}^{3})$

Этап 2

Производная $y$ по $t$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = t^{7}$ и $g (t) = {(t^{5} - 6)}^{3}$ .

$t^{7} \frac{d}{d t} [{(t^{5} - 6)}^{3}] + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{3}$ и $g (t) = t^{5} - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $t^{5} - 6$ .

$t^{7} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [t^{5} - 6]) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$t^{7} (3 u^{2} \frac{d}{d t} [t^{5} - 6]) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $t^{5} - 6$ .

$t^{7} (3 {(t^{5} - 6)}^{2} \frac{d}{d t} [t^{5} - 6]) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

По правилу суммы производная $t^{5} - 6$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 6]$ .

$t^{7} (3 {(t^{5} - 6)}^{2} (\frac{d}{d t} [t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 6])) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$t^{7} (3 {(t^{5} - 6)}^{2} (5 t^{4} + \frac{d}{d t} [- 6])) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Этап 3.3.3

Поскольку $- 6$ является константой относительно $t$ , производная $- 6$ относительно $t$ равна $0$ .

$t^{7} (3 {(t^{5} - 6)}^{2} (5 t^{4} + 0)) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Этап 3.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Добавим $5 t^{4}$ и $0$ .

$t^{7} (3 {(t^{5} - 6)}^{2} (5 t^{4})) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Этап 3.3.4.2

Умножим $5$ на $3$ .

$t^{7} (15 {(t^{5} - 6)}^{2} t^{4}) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Этап 3.4

Умножим $t^{7}$ на $t^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем $t^{4}$ .

$t^{4} t^{7} (15 {(t^{5} - 6)}^{2}) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Этап 3.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$t^{4 + 7} (15 {(t^{5} - 6)}^{2}) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Этап 3.4.3

Добавим $4$ и $7$ .

$t^{11} (15 {(t^{5} - 6)}^{2}) + {(t^{5} - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$t^{11} (15 {(t^{5} - 6)}^{2}) + {(t^{5} - 6)}^{3} (7 t^{6})$

Этап 3.6

Перенесем $7$ влево от ${(t^{5} - 6)}^{3}$ .

$t^{11} (15 {(t^{5} - 6)}^{2}) + 7 \cdot {(t^{5} - 6)}^{3} t^{6}$

Этап 3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Вынесем множитель $t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2}$ из $t^{11} (15 {(t^{5} - 6)}^{2}) + 7 {(t^{5} - 6)}^{3} t^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Вынесем множитель $t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2}$ из $t^{11} (15 {(t^{5} - 6)}^{2})$ .

$t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (t^{5} \cdot (15)) + 7 {(t^{5} - 6)}^{3} t^{6}$

Этап 3.7.1.2

Вынесем множитель $t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2}$ из $7 {(t^{5} - 6)}^{3} t^{6}$ .

$t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (t^{5} \cdot (15)) + t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (7 (t^{5} - 6))$

Этап 3.7.1.3

Вынесем множитель $t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2}$ из $t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (t^{5} \cdot (15)) + t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (7 (t^{5} - 6))$ .

$t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (t^{5} \cdot (15) + 7 (t^{5} - 6))$

Этап 3.7.2

Перенесем $15$ влево от $t^{5}$ .

$t^{6} {(t^{5} - 6)}^{2} (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Этап 3.7.3

Перепишем ${(t^{5} - 6)}^{2}$ в виде $(t^{5} - 6) (t^{5} - 6)$ .

$t^{6} ((t^{5} - 6) (t^{5} - 6)) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Этап 3.7.4

Развернем $(t^{5} - 6) (t^{5} - 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$t^{6} (t^{5} (t^{5} - 6) - 6 (t^{5} - 6)) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Этап 3.7.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$t^{6} (t^{5} t^{5} + t^{5} \cdot - 6 - 6 (t^{5} - 6)) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Этап 3.7.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$t^{6} (t^{5} t^{5} + t^{5} \cdot - 6 - 6 t^{5} - 6 \cdot - 6) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Этап 3.7.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.5.1.1

Умножим $t^{5}$ на $t^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.5.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$t^{6} (t^{5 + 5} + t^{5} \cdot - 6 - 6 t^{5} - 6 \cdot - 6) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Этап 3.7.5.1.1.2

Добавим $5$ и $5$ .

$t^{6} (t^{10} + t^{5} \cdot - 6 - 6 t^{5} - 6 \cdot - 6) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Этап 3.7.5.1.2

Перенесем $- 6$ влево от $t^{5}$ .

$t^{6} (t^{10} - 6 \cdot t^{5} - 6 t^{5} - 6 \cdot - 6) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Этап 3.7.5.1.3

Умножим $- 6$ на $- 6$ .

$t^{6} (t^{10} - 6 t^{5} - 6 t^{5} + 36) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Этап 3.7.5.2

Вычтем $6 t^{5}$ из $- 6 t^{5}$ .

$t^{6} (t^{10} - 12 t^{5} + 36) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Этап 3.7.6

Применим свойство дистрибутивности.

$(t^{6} t^{10} + t^{6} (- 12 t^{5}) + t^{6} \cdot 36) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Этап 3.7.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.7.1

Умножим $t^{6}$ на $t^{10}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.7.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(t^{6 + 10} + t^{6} (- 12 t^{5}) + t^{6} \cdot 36) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Этап 3.7.7.1.2

Добавим $6$ и $10$ .

$(t^{16} + t^{6} (- 12 t^{5}) + t^{6} \cdot 36) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Этап 3.7.7.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(t^{16} - 12 t^{6} t^{5} + t^{6} \cdot 36) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Этап 3.7.7.3

Перенесем $36$ влево от $t^{6}$ .

$(t^{16} - 12 t^{6} t^{5} + 36 \cdot t^{6}) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Этап 3.7.8

Умножим $t^{6}$ на $t^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.8.1

Перенесем $t^{5}$ .

$(t^{16} - 12 (t^{5} t^{6}) + 36 \cdot t^{6}) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Этап 3.7.8.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(t^{16} - 12 t^{5 + 6} + 36 \cdot t^{6}) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Этап 3.7.8.3

Добавим $5$ и $6$ .

$(t^{16} - 12 t^{11} + 36 \cdot t^{6}) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

$(t^{16} - 12 t^{11} + 36 t^{6}) (15 t^{5} + 7 (t^{5} - 6))$

Этап 3.7.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(t^{16} - 12 t^{11} + 36 t^{6}) (15 t^{5} + 7 t^{5} + 7 \cdot - 6)$

Этап 3.7.9.2

Умножим $7$ на $- 6$ .

$(t^{16} - 12 t^{11} + 36 t^{6}) (15 t^{5} + 7 t^{5} - 42)$

Этап 3.7.10

Добавим $15 t^{5}$ и $7 t^{5}$ .

$(t^{16} - 12 t^{11} + 36 t^{6}) (22 t^{5} - 42)$

Этап 3.7.11

Развернем $(t^{16} - 12 t^{11} + 36 t^{6}) (22 t^{5} - 42)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$t^{16} (22 t^{5}) + t^{16} \cdot - 42 - 12 t^{11} (22 t^{5}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Этап 3.7.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.12.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$22 t^{16} t^{5} + t^{16} \cdot - 42 - 12 t^{11} (22 t^{5}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Этап 3.7.12.2

Умножим $t^{16}$ на $t^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.12.2.1

Перенесем $t^{5}$ .

$22 (t^{5} t^{16}) + t^{16} \cdot - 42 - 12 t^{11} (22 t^{5}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Этап 3.7.12.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$22 t^{5 + 16} + t^{16} \cdot - 42 - 12 t^{11} (22 t^{5}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Этап 3.7.12.2.3

Добавим $5$ и $16$ .

$22 t^{21} + t^{16} \cdot - 42 - 12 t^{11} (22 t^{5}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Этап 3.7.12.3

Перенесем $- 42$ влево от $t^{16}$ .

$22 t^{21} - 42 \cdot t^{16} - 12 t^{11} (22 t^{5}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Этап 3.7.12.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 12 \cdot 22 t^{11} t^{5} - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Этап 3.7.12.5

Умножим $t^{11}$ на $t^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.12.5.1

Перенесем $t^{5}$ .

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 12 \cdot 22 (t^{5} t^{11}) - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Этап 3.7.12.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 12 \cdot 22 t^{5 + 11} - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Этап 3.7.12.5.3

Добавим $5$ и $11$ .

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 12 \cdot 22 t^{16} - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Этап 3.7.12.6

Умножим $- 12$ на $22$ .

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} - 12 t^{11} \cdot - 42 + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Этап 3.7.12.7

Умножим $- 42$ на $- 12$ .

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 36 t^{6} (22 t^{5}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Этап 3.7.12.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 36 \cdot 22 t^{6} t^{5} + 36 t^{6} \cdot - 42$

Этап 3.7.12.9

Умножим $t^{6}$ на $t^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.12.9.1

Перенесем $t^{5}$ .

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 36 \cdot 22 (t^{5} t^{6}) + 36 t^{6} \cdot - 42$

Этап 3.7.12.9.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 36 \cdot 22 t^{5 + 6} + 36 t^{6} \cdot - 42$

Этап 3.7.12.9.3

Добавим $5$ и $6$ .

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 36 \cdot 22 t^{11} + 36 t^{6} \cdot - 42$

Этап 3.7.12.10

Умножим $36$ на $22$ .

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 792 t^{11} + 36 t^{6} \cdot - 42$

Этап 3.7.12.11

Умножим $- 42$ на $36$ .

$22 t^{21} - 42 t^{16} - 264 t^{16} + 504 t^{11} + 792 t^{11} - 1512 t^{6}$

Этап 3.7.13

Вычтем $264 t^{16}$ из $- 42 t^{16}$ .

$22 t^{21} - 306 t^{16} + 504 t^{11} + 792 t^{11} - 1512 t^{6}$

Этап 3.7.14

Добавим $504 t^{11}$ и $792 t^{11}$ .

$22 t^{21} - 306 t^{16} + 1296 t^{11} - 1512 t^{6}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 22 t^{21} - 306 t^{16} + 1296 t^{11} - 1512 t^{6}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = 22 t^{21} - 306 t^{16} + 1296 t^{11} - 1512 t^{6}$