Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 5} \frac{1}{x - 5} - \frac{10}{x^{2} - 25}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $\frac{1}{x - 5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2} - 25}{x^{2} - 25}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{1}{x - 5} \cdot \frac{x^{2} - 25}{x^{2} - 25} - \frac{10}{x^{2} - 25}$

Этап 1.2

Чтобы записать $- \frac{10}{x^{2} - 25}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{1}{x - 5} \cdot \frac{x^{2} - 25}{x^{2} - 25} - \frac{10}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x - 5}{x - 5}$

Этап 1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x - 5) (x^{2} - 25)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{1}{x - 5}$ на $\frac{x^{2} - 25}{x^{2} - 25}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{(x - 5) (x^{2} - 25)} - \frac{10}{x^{2} - 25} \cdot \frac{x - 5}{x - 5}$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{10}{x^{2} - 25}$ на $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{(x - 5) (x^{2} - 25)} - \frac{10 (x - 5)}{(x^{2} - 25) (x - 5)}$

Этап 1.3.3

Изменим порядок множителей в $(x^{2} - 25) (x - 5)$ .

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{(x - 5) (x^{2} - 25)} - \frac{10 (x - 5)}{(x - 5) (x^{2} - 25)}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25 - 10 (x - 5)}{(x - 5) (x^{2} - 25)}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - 25 - 10 (x - 5)}{lim_{x \to 5} (x - 5) (x^{2} - 25)}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 25 - lim_{x \to 5} 10 (x - 5)}{lim_{x \to 5} (x - 5) (x^{2} - 25)}$

Этап 2.1.2.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 25 - lim_{x \to 5} 10 (x - 5)}{lim_{x \to 5} (x - 5) (x^{2} - 25)}$

Этап 2.1.2.3

Найдем предел $25$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 1 \cdot 25 - lim_{x \to 5} 10 (x - 5)}{lim_{x \to 5} (x - 5) (x^{2} - 25)}$

Этап 2.1.2.4

Вынесем член $10$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 1 \cdot 25 - 10 lim_{x \to 5} x - 5}{lim_{x \to 5} (x - 5) (x^{2} - 25)}$

Этап 2.1.2.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 1 \cdot 25 - 10 (lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5)}{lim_{x \to 5} (x - 5) (x^{2} - 25)}$

Этап 2.1.2.6

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 1 \cdot 25 - 10 (lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}{lim_{x \to 5} (x - 5) (x^{2} - 25)}$

Этап 2.1.2.7

Найдем значения пределов, подставив значение $5$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{5^{2} - 1 \cdot 25 - 10 (lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5)}{lim_{x \to 5} (x - 5) (x^{2} - 25)}$

Этап 2.1.2.7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{5^{2} - 1 \cdot 25 - 10 (5 - 1 \cdot 5)}{lim_{x \to 5} (x - 5) (x^{2} - 25)}$

Этап 2.1.2.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.8.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{25 - 1 \cdot 25 - 10 (5 - 1 \cdot 5)}{lim_{x \to 5} (x - 5) (x^{2} - 25)}$

Этап 2.1.2.8.1.2

Умножим $- 1$ на $25$ .

$\frac{25 - 25 - 10 (5 - 1 \cdot 5)}{lim_{x \to 5} (x - 5) (x^{2} - 25)}$

Этап 2.1.2.8.1.3

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{25 - 25 - 10 (5 - 5)}{lim_{x \to 5} (x - 5) (x^{2} - 25)}$

Этап 2.1.2.8.1.4

Вычтем $5$ из $5$ .

$\frac{25 - 25 - 10 \cdot 0}{lim_{x \to 5} (x - 5) (x^{2} - 25)}$

Этап 2.1.2.8.1.5

Умножим $- 10$ на $0$ .

$\frac{25 - 25 + 0}{lim_{x \to 5} (x - 5) (x^{2} - 25)}$

Этап 2.1.2.8.2

Вычтем $25$ из $25$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 5} (x - 5) (x^{2} - 25)}$

Этап 2.1.2.8.3

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} (x - 5) (x^{2} - 25)}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - 5 \cdot lim_{x \to 5} x^{2} - 25}$

Этап 2.1.3.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5) \cdot lim_{x \to 5} x^{2} - 25}$

Этап 2.1.3.3

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5) \cdot lim_{x \to 5} x^{2} - 25}$

Этап 2.1.3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5) \cdot (lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 25)}$

Этап 2.1.3.5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5) \cdot ({(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 25)}$

Этап 2.1.3.6

Найдем предел $25$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5) \cdot ({(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 1 \cdot 25)}$

Этап 2.1.3.7

Найдем значения пределов, подставив значение $5$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{0}{(5 - 1 \cdot 5) \cdot ({(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 1 \cdot 25)}$

Этап 2.1.3.7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{0}{(5 - 1 \cdot 5) \cdot (5^{2} - 1 \cdot 25)}$

Этап 2.1.3.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.8.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{0}{(5 - 5) \cdot (5^{2} - 1 \cdot 25)}$

Этап 2.1.3.8.2

Вычтем $5$ из $5$ .

$\frac{0}{0 \cdot (5^{2} - 1 \cdot 25)}$

Этап 2.1.3.8.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.8.3.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot (25 - 1 \cdot 25)}$

Этап 2.1.3.8.3.2

Умножим $- 1$ на $25$ .

$\frac{0}{0 \cdot (25 - 25)}$

Этап 2.1.3.8.4

Вычтем $25$ из $25$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Этап 2.1.3.8.5

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.8.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.9

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25 - 10 (x - 5)}{(x - 5) (x^{2} - 25)} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25 - 10 (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [(x - 5) (x^{2} - 25)]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25 - 10 (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [(x - 5) (x^{2} - 25)]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 25 - 10 (x - 5)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25] + \frac{d}{d x} [- 10 (x - 5)]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25] + \frac{d}{d x} [- 10 (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [(x - 5) (x^{2} - 25)]}$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 25] + \frac{d}{d x} [- 10 (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [(x - 5) (x^{2} - 25)]}$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 25$ является константой относительно $x$ , производная $- 25$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + 0 + \frac{d}{d x} [- 10 (x - 5)]}{\frac{d}{d x} [(x - 5) (x^{2} - 25)]}$

Этап 2.3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 10 (x - 5)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10 (x - 5)$ по $x$ равна $- 10 \frac{d}{d x} [x - 5]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + 0 - 10 \frac{d}{d x} [x - 5]}{\frac{d}{d x} [(x - 5) (x^{2} - 25)]}$

Этап 2.3.5.2

По правилу суммы производная $x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + 0 - 10 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{\frac{d}{d x} [(x - 5) (x^{2} - 25)]}$

Этап 2.3.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + 0 - 10 (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{\frac{d}{d x} [(x - 5) (x^{2} - 25)]}$

Этап 2.3.5.4

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + 0 - 10 (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [(x - 5) (x^{2} - 25)]}$

Этап 2.3.5.5

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + 0 - 10 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(x - 5) (x^{2} - 25)]}$

Этап 2.3.5.6

Умножим $- 10$ на $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + 0 - 10}{\frac{d}{d x} [(x - 5) (x^{2} - 25)]}$

Этап 2.3.6

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{\frac{d}{d x} [(x - 5) (x^{2} - 25)]}$

Этап 2.3.7

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x - 5$ и $g (x) = x^{2} - 25$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{(x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25] + (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 2.3.8

По правилу суммы производная $x^{2} - 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{(x - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]) + (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 2.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{(x - 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 25]) + (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 2.3.10

Поскольку $- 25$ является константой относительно $x$ , производная $- 25$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{(x - 5) (2 x + 0) + (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 2.3.11

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{(x - 5) (2 x) + (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 2.3.12

Перенесем $2$ влево от $x - 5$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{2 \cdot (x - 5) x + (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Этап 2.3.13

По правилу суммы производная $x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{2 (x - 5) x + (x^{2} - 25) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}$

Этап 2.3.14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{2 (x - 5) x + (x^{2} - 25) (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}$

Этап 2.3.15

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{2 (x - 5) x + (x^{2} - 25) (1 + 0)}$

Этап 2.3.16

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{2 (x - 5) x + (x^{2} - 25) \cdot 1}$

Этап 2.3.17

Умножим $x^{2} - 25$ на $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{2 (x - 5) x + x^{2} - 25}$

Этап 2.3.18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.18.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{(2 x + 2 \cdot - 5) x + x^{2} - 25}$

Этап 2.3.18.2

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{2 x \cdot x + 2 \cdot - 5 x + x^{2} - 25}$

Этап 2.3.18.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.18.3.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{2 (x^{1} x) + 2 \cdot - 5 x + x^{2} - 25}$

Этап 2.3.18.3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 5 x + x^{2} - 25}$

Этап 2.3.18.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{2 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 5 x + x^{2} - 25}$

Этап 2.3.18.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{2 x^{2} + 2 \cdot - 5 x + x^{2} - 25}$

Этап 2.3.18.3.5

Умножим $2$ на $- 5$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{2 x^{2} - 10 x + x^{2} - 25}$

Этап 2.3.18.3.6

Добавим $2 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{3 x^{2} - 10 x - 25}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 5} 2 x - 10}{lim_{x \to 5} 3 x^{2} - 10 x - 25}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} 2 x - lim_{x \to 5} 10}{lim_{x \to 5} 3 x^{2} - 10 x - 25}$

Этап 3.1.2.1.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 10}{lim_{x \to 5} 3 x^{2} - 10 x - 25}$

Этап 3.1.2.1.3

Найдем предел $10$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 5} 3 x^{2} - 10 x - 25}$

Этап 3.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 5 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 5} 3 x^{2} - 10 x - 25}$

Этап 3.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1.1

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{10 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 5} 3 x^{2} - 10 x - 25}$

Этап 3.1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $10$ .

$\frac{10 - 10}{lim_{x \to 5} 3 x^{2} - 10 x - 25}$

Этап 3.1.2.3.2

Вычтем $10$ из $10$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} 3 x^{2} - 10 x - 25}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} 3 x^{2} - lim_{x \to 5} 10 x - lim_{x \to 5} 25}$

Этап 3.1.3.2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 10 x - lim_{x \to 5} 25}$

Этап 3.1.3.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 10 x - lim_{x \to 5} 25}$

Этап 3.1.3.4

Вынесем член $10$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 10 lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 25}$

Этап 3.1.3.5

Найдем предел $25$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 10 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 25}$

Этап 3.1.3.6

Найдем значения пределов, подставив значение $5$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 5^{2} - 10 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 25}$

Этап 3.1.3.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 5^{2} - 10 \cdot 5 - 1 \cdot 25}$

Этап 3.1.3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.7.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{0}{3 \cdot 25 - 10 \cdot 5 - 1 \cdot 25}$

Этап 3.1.3.7.1.2

Умножим $3$ на $25$ .

$\frac{0}{75 - 10 \cdot 5 - 1 \cdot 25}$

Этап 3.1.3.7.1.3

Умножим $- 10$ на $5$ .

$\frac{0}{75 - 50 - 1 \cdot 25}$

Этап 3.1.3.7.1.4

Умножим $- 1$ на $25$ .

$\frac{0}{75 - 50 - 25}$

Этап 3.1.3.7.2

Вычтем $50$ из $75$ .

$\frac{0}{25 - 25}$

Этап 3.1.3.7.3

Вычтем $25$ из $25$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.7.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.8

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.2

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 10}{3 x^{2} - 10 x - 25} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 10]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 10 x - 25]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 10]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 10 x - 25]}$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $2 x - 10$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 10 x - 25]}$

Этап 3.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 10 x - 25]}$

Этап 3.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 10 x - 25]}$

Этап 3.3.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 10 x - 25]}$

Этап 3.3.4

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 + 0}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 10 x - 25]}$

Этап 3.3.5

Добавим $2$ и $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 10 x - 25]}$

Этап 3.3.6

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 10 x - 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- 25]}$

Этап 3.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- 25]}$

Этап 3.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2}{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- 25]}$

Этап 3.3.7.3

Умножим $2$ на $3$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2}{6 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- 25]}$

Этап 3.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.8.1

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10 x$ по $x$ равна $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2}{6 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 25]}$

Этап 3.3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2}{6 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 25]}$

Этап 3.3.8.3

Умножим $- 10$ на $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2}{6 x - 10 + \frac{d}{d x} [- 25]}$

Этап 3.3.9

Поскольку $- 25$ является константой относительно $x$ , производная $- 25$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2}{6 x - 10 + 0}$

Этап 3.3.10

Добавим $6 x - 10$ и $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2}{6 x - 10}$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $2$ и $6 x - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 (1)}{6 x - 10}$

Этап 3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 (1)}{2 (3 x) - 10}$

Этап 3.4.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 10$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 \cdot 1}{2 (3 x) + 2 \cdot - 5}$

Этап 3.4.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 x) + 2 (- 5)$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 (1)}{2 (3 x - 5)}$

Этап 3.4.2.4

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 5} \frac{2 \cdot 1}{2 (3 x - 5)}$

Этап 3.4.2.5

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 5} \frac{1}{3 x - 5}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} 1}{lim_{x \to 5} 3 x - 5}$

Этап 4.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 5} 3 x - 5}$

Этап 4.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 5} 3 x - lim_{x \to 5} 5}$

Этап 4.4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3 lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5}$

Этап 4.5

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{1}{3 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5}$

Этап 5

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{1}{3 \cdot 5 - 1 \cdot 5}$

Этап 6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{1}{15 - 1 \cdot 5}$

Этап 6.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{1}{15 - 5}$

Этап 6.3

Вычтем $5$ из $15$ .

$\frac{1}{10}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{10}$

Десятичная форма:

$0.1$