Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 4} \frac{5 x^{2} - 22 x + 8}{2 x^{3} - 7 x - 4}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} 5 x^{2} - 22 x + 8}{lim_{x \to 4} 2 x^{3} - 7 x - 4}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} 5 x^{2} - lim_{x \to 4} 22 x + lim_{x \to 4} 8}{lim_{x \to 4} 2 x^{3} - 7 x - 4}$

Этап 3

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 22 x + lim_{x \to 4} 8}{lim_{x \to 4} 2 x^{3} - 7 x - 4}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{5 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 22 x + lim_{x \to 4} 8}{lim_{x \to 4} 2 x^{3} - 7 x - 4}$

Этап 5

Вынесем член $22$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 22 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 8}{lim_{x \to 4} 2 x^{3} - 7 x - 4}$

Этап 6

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 22 lim_{x \to 4} x + 8}{lim_{x \to 4} 2 x^{3} - 7 x - 4}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 22 lim_{x \to 4} x + 8}{lim_{x \to 4} 2 x^{3} - lim_{x \to 4} 7 x - lim_{x \to 4} 4}$

Этап 8

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 22 lim_{x \to 4} x + 8}{2 lim_{x \to 4} x^{3} - lim_{x \to 4} 7 x - lim_{x \to 4} 4}$

Этап 9

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{5 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 22 lim_{x \to 4} x + 8}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{3} - lim_{x \to 4} 7 x - lim_{x \to 4} 4}$

Этап 10

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 22 lim_{x \to 4} x + 8}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{3} - 7 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}$

Этап 11

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 22 lim_{x \to 4} x + 8}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{3} - 7 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}$

Этап 12

Найдем значения пределов, подставив значение $4$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{5 \cdot 4^{2} - 22 lim_{x \to 4} x + 8}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{3} - 7 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}$

Этап 12.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{5 \cdot 4^{2} - 22 \cdot 4 + 8}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{3} - 7 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}$

Этап 12.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{5 \cdot 4^{2} - 22 \cdot 4 + 8}{2 \cdot 4^{3} - 7 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}$

Этап 12.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{5 \cdot 4^{2} - 22 \cdot 4 + 8}{2 \cdot 4^{3} - 7 \cdot 4 - 1 \cdot 4}$

Этап 13

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Сократим общий множитель $5 \cdot 4^{2} - 22 \cdot 4 + 8$ и $2 \cdot 4^{3} - 7 \cdot 4 - 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $2 \cdot 4^{3}$ .

$\frac{5 \cdot 4^{2} - 22 \cdot 4 + 8}{- (- 2 \cdot 4^{3}) - 7 \cdot 4 - 1 \cdot 4}$

Этап 13.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 7 \cdot 4$ .

$\frac{5 \cdot 4^{2} - 22 \cdot 4 + 8}{- (- 2 \cdot 4^{3}) - (7 \cdot 4) - 1 \cdot 4}$

Этап 13.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (- 2 \cdot 4^{3}) - (7 \cdot 4)$ .

$\frac{5 \cdot 4^{2} - 22 \cdot 4 + 8}{- (- 2 \cdot 4^{3} + 7 \cdot 4) - 1 \cdot 4}$

Этап 13.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 \cdot 4$ .

$\frac{5 \cdot 4^{2} - 22 \cdot 4 + 8}{- (- 2 \cdot 4^{3} + 7 \cdot 4) - 1 (4)}$

Этап 13.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (- 2 \cdot 4^{3} + 7 \cdot 4) - 1 (4)$ .

$\frac{5 \cdot 4^{2} - 22 \cdot 4 + 8}{- (- 2 \cdot 4^{3} + 7 \cdot 4 + 4)}$

Этап 13.1.6

Перепишем $- (- 2 \cdot 4^{3} + 7 \cdot 4 + 4)$ в виде $- 1 (- 2 \cdot 4^{3} + 7 \cdot 4 + 4)$ .

$\frac{5 \cdot 4^{2} - 22 \cdot 4 + 8}{- 1 (- 2 \cdot 4^{3} + 7 \cdot 4 + 4)}$

Этап 13.1.7

Вынесем множитель $4$ из $5 \cdot 4^{2}$ .

$\frac{4 (5 \cdot 4) - 22 \cdot 4 + 8}{- 1 (- 2 \cdot 4^{3} + 7 \cdot 4 + 4)}$

Этап 13.1.8

Вынесем множитель $4$ из $- 22 \cdot 4$ .

$\frac{4 (5 \cdot 4) + 4 \cdot - 22 + 8}{- 1 (- 2 \cdot 4^{3} + 7 \cdot 4 + 4)}$

Этап 13.1.9

Вынесем множитель $4$ из $4 (5 \cdot 4) + 4 \cdot - 22$ .

$\frac{4 (5 \cdot 4 - 22) + 8}{- 1 (- 2 \cdot 4^{3} + 7 \cdot 4 + 4)}$

Этап 13.1.10

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{4 (5 \cdot 4 - 22) + 4 \cdot 2}{- 1 (- 2 \cdot 4^{3} + 7 \cdot 4 + 4)}$

Этап 13.1.11

Вынесем множитель $4$ из $4 (5 \cdot 4 - 22) + 4 (2)$ .

$\frac{4 (5 \cdot 4 - 22 + 2)}{- 1 (- 2 \cdot 4^{3} + 7 \cdot 4 + 4)}$

Этап 13.1.12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.12.1

Вынесем множитель $4$ из $- 1 (- 2 \cdot 4^{3} + 7 \cdot 4 + 4)$ .

$\frac{4 (5 \cdot 4 - 22 + 2)}{4 (- 1 (- 2 \cdot 4^{2} + 7 + 1))}$

Этап 13.1.12.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (5 \cdot 4 - 22 + 2)}{4 (- 1 (- 2 \cdot 4^{2} + 7 + 1))}$

Этап 13.1.12.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5 \cdot 4 - 22 + 2}{- 1 (- 2 \cdot 4^{2} + 7 + 1)}$

Этап 13.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Умножим $5$ на $4$ .

$\frac{20 - 22 + 2}{- 1 (- 2 \cdot 4^{2} + 7 + 1)}$

Этап 13.2.2

Вычтем $22$ из $20$ .

$\frac{- 2 + 2}{- 1 (- 2 \cdot 4^{2} + 7 + 1)}$

Этап 13.2.3

Добавим $- 2$ и $2$ .

$\frac{0}{- 1 (- 2 \cdot 4^{2} + 7 + 1)}$

Этап 13.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{0}{- 1 (- 2 \cdot 16 + 7 + 1)}$

Этап 13.3.2

Умножим $- 2$ на $16$ .

$\frac{0}{- 1 (- 32 + 7 + 1)}$

Этап 13.3.3

Добавим $- 32$ и $7$ .

$\frac{0}{- 1 (- 25 + 1)}$

Этап 13.3.4

Добавим $- 25$ и $1$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot - 24}$

Этап 13.4

Умножим $- 1$ на $- 24$ .

$\frac{0}{24}$

Этап 13.5

Разделим $0$ на $24$ .

$0$