Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{2} + 25$ .

$\frac{(x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 25) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Умножим $x^{2} + 25$ на $1$ .

$\frac{x^{2} + 25 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{x^{2} + 25 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 25 - x (2 x + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 1.1.2.5

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{2} + 25 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{x^{2} + 25 - x (2 x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 25 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{2} + 25 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 1.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{2} + 25 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 1.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 1.1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 1.1.7

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ .

$\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$- x^{2} + 25 = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вычтем $25$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = - 25$

Этап 2.3.2

Разделим каждый член $- x^{2} = - 25$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 25$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 25}{- 1}$

Этап 2.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 25}{- 1}$

Этап 2.3.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 25}{- 1}$

Этап 2.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Разделим $- 25$ на $- 1$ .

$x^{2} = 25$

Этап 2.3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{25}$

Этап 2.3.4

Упростим $\pm \sqrt{25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Этап 2.3.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 5$

Этап 2.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 5$

Этап 2.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 5$

Этап 2.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 5, - 5$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $\frac{x}{x^{2} + 25}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $5$ вместо $x$ .

$\frac{5}{{(5)}^{2} + 25}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{5}{25 + 25}$

Этап 4.1.2.1.2

Добавим $25$ и $25$ .

$\frac{5}{50}$

Этап 4.1.2.2

Сократим общий множитель $5$ и $50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{5 (1)}{50}$

Этап 4.1.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $50$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 10}$

Этап 4.1.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 10}$

Этап 4.1.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{10}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $- 5$ вместо $x$ .

$\frac{- 5}{{(- 5)}^{2} + 25}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$\frac{- 5}{25 + 25}$

Этап 4.2.2.1.2

Добавим $25$ и $25$ .

$\frac{- 5}{50}$

Этап 4.2.2.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ и $50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$\frac{5 (- 1)}{50}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $50$ .

$\frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 10}$

Этап 4.2.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 10}$

Этап 4.2.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{10}$

Этап 4.2.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{10}$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(5, \frac{1}{10}), (- 5, - \frac{1}{10})$

Этап 5