Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 2} x^{3} + 2 x^{2} - 8 x + 5$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$lim_{x \to 2} x^{3} + lim_{x \to 2} 2 x^{2} - lim_{x \to 2} 8 x + lim_{x \to 2} 5$

Этап 2

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(lim_{x \to 2} x)}^{3} + lim_{x \to 2} 2 x^{2} - lim_{x \to 2} 8 x + lim_{x \to 2} 5$

Этап 3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

${(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 2 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 8 x + lim_{x \to 2} 5$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 8 x + lim_{x \to 2} 5$

Этап 5

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

${(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 5$

Этап 6

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

${(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 2} x + 5$

Этап 7

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$2^{3} + 2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 2} x + 5$

Этап 7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$2^{3} + 2 \cdot 2^{2} - 8 lim_{x \to 2} x + 5$

Этап 7.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$2^{3} + 2 \cdot 2^{2} - 8 \cdot 2 + 5$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$8 + 2 \cdot 2^{2} - 8 \cdot 2 + 5$

Этап 8.1.2

Умножим $2$ на $2^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Умножим $2$ на $2^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$8 + 2^{1} \cdot 2^{2} - 8 \cdot 2 + 5$

Этап 8.1.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 + 2^{1 + 2} - 8 \cdot 2 + 5$

Этап 8.1.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$8 + 2^{3} - 8 \cdot 2 + 5$

Этап 8.1.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$8 + 8 - 8 \cdot 2 + 5$

Этап 8.1.4

Умножим $- 8$ на $2$ .

$8 + 8 - 16 + 5$

Этап 8.2

Добавим $8$ и $8$ .

$16 - 16 + 5$

Этап 8.3

Вычтем $16$ из $16$ .

$0 + 5$

Этап 8.4

Добавим $0$ и $5$ .

$5$