Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{x^{7} - 128}{2 x - 4}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 2^{+}} x^{7} - 128}{lim_{x \to 2^{+}} 2 x - 4}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2^{+}} x^{7} - lim_{x \to 2^{+}} 128}{lim_{x \to 2^{+}} 2 x - 4}$

Этап 1.1.2.1.2

Вынесем степень $7$ в выражении $x^{7}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{7} - lim_{x \to 2^{+}} 128}{lim_{x \to 2^{+}} 2 x - 4}$

Этап 1.1.2.1.3

Найдем предел $128$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{7} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 2^{+}} 2 x - 4}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2^{7} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 2^{+}} 2 x - 4}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Возведем $2$ в степень $7$ .

$\frac{128 - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 2^{+}} 2 x - 4}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $128$ .

$\frac{128 - 128}{lim_{x \to 2^{+}} 2 x - 4}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $128$ из $128$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} 2 x - 4}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} 2 x - lim_{x \to 2^{+}} 4}$

Этап 1.1.3.1.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 2^{+}} x - lim_{x \to 2^{+}} 4}$

Этап 1.1.3.1.3

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 4}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{x^{7} - 128}{2 x - 4} = lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{7} - 128]}{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{7} - 128]}{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x^{7} - 128$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 128]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{7 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 128$ является константой относительно $x$ , производная $- 128$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{7 x^{6} + 0}{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}$

Этап 1.3.5

Добавим $7 x^{6}$ и $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{7 x^{6}}{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $2 x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{7 x^{6}}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Этап 1.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{7 x^{6}}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Этап 1.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{7 x^{6}}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Этап 1.3.7.3

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{7 x^{6}}{2 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{7 x^{6}}{2 + 0}$

Этап 1.3.9

Добавим $2$ и $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{7 x^{6}}{2}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $\frac{7}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{7}{2} lim_{x \to 2^{+}} x^{6}$

Этап 2.2

Вынесем степень $6$ в выражении $x^{6}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{7}{2} {(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{6}$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{7}{2} \cdot 2^{6}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2^{6}$ .

$\frac{7}{2} \cdot (2 \cdot 2^{5})$

Этап 4.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{7}{2} \cdot (2 \cdot 2^{5})$

Этап 4.1.3

Перепишем это выражение.

$7 \cdot 2^{5}$

Этап 4.2

Возведем $2$ в степень $5$ .

$7 \cdot 32$

Этап 4.3

Умножим $7$ на $32$ .

$224$