Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} (6 x^{2}) (\cot (x)) (\csc (2 x))$

Этап 1

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$6 lim_{x \to 0} x^{2} \cot (x) \csc (2 x)$

Этап 2

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{-}} x^{2} \cot (x) \csc (2 x)$

Этап 3

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $x^{2} \cot (x) \csc (2 x)$ , когда $x$ стремится к $0$ слева.

$\begin{array}{c} x & x^{2} \cot (x) \csc (2 x) \\ - 0.1 & 0.50167 \\ - 0.01 & 0.50001666 \\ - 0.001 & 0.50000016 \end{array}$

Этап 4

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $0.5$ . Таким образом, предел $x^{2} \cot (x) \csc (2 x)$ , когда $x$ стремится к $0$ слева, равен $0.5$ .

$0.5$

Этап 5

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{+}} x^{2} \cot (x) \csc (2 x)$

Этап 6

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $x^{2} \cot (x) \csc (2 x)$ , когда $x$ стремится к $0$ справа.

$\begin{array}{c} x & x^{2} \cot (x) \csc (2 x) \\ 0.1 & 0.50167 \\ 0.01 & 0.50001666 \\ 0.001 & 0.50000016 \end{array}$

Этап 7

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $0.5$ . Таким образом, предел $x^{2} \cot (x) \csc (2 x)$ , когда $x$ стремится к $0$ справа, равен $0.5$ .

$6 \cdot 0.5$

Этап 8

Умножим $6$ на $0.5$ .

$3$