Математический анализ Примеры

$y = {(x - 1)}^{2} + 1$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{2} + 1)$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 1) + 1]$

Этап 3.2

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x (x - 1) - 1 (x - 1) + 1]$

Этап 3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1]$

Этап 3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1]$

Этап 3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1]$

Этап 3.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1]$

Этап 3.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1]$

Этап 3.3.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 + 1]$

Этап 3.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - x - x + 1 + 1]$

Этап 3.3.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1 + 1]$

Этап 3.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x + 1 + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.5.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x - 2 + 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.6.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x - 2 + 0 + 0$

Этап 3.7

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Добавим $2 x - 2$ и $0$ .

$2 x - 2 + 0$

Этап 3.7.2

Добавим $2 x - 2$ и $0$ .

$2 x - 2$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 2 x - 2$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 2$