Математический анализ Примеры

$x^{4} + 3 x^{3} y^{2} = x - y^{4}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{4} + 3 x^{3} y^{2}) = \frac{d}{d x} (x - y^{4})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} + 3 x^{3} y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{3} y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{3} y^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ .

$4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y^{2}$ .

$4 x^{3} + 3 (x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$4 x^{3} + 3 (x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x^{3} + 3 (x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$4 x^{3} + 3 (x^{3} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 2.2.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$4 x^{3} + 3 (x^{3} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 x^{3} + 3 (x^{3} (2 y y') + y^{2} (3 x^{2}))$

Этап 2.2.6

Перенесем $2$ влево от $x^{3}$ .

$4 x^{3} + 3 (2 \cdot x^{3} y y' + y^{2} (3 x^{2}))$

Этап 2.2.7

Перенесем $3$ влево от $y^{2}$ .

$4 x^{3} + 3 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2})$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{3} + 3 (2 x^{3} y y') + 3 (3 y^{2} x^{2})$

Этап 2.3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $2$ на $3$ .

$4 x^{3} + 6 (x^{3} y y') + 3 (3 y^{2} x^{2})$

Этап 2.3.2.2

Умножим $3$ на $3$ .

$4 x^{3} + 6 x^{3} y y' + 9 y^{2} x^{2}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок членов.

$4 x^{3} + 6 x^{3} y y' + 9 x^{2} y^{2}$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $x - y^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{4}]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- y^{4}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- y^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y^{4}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Этап 3.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$1 - (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$1 - (4 u^{3} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$1 - (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$1 - (4 y^{3} y')$

Этап 3.2.4

Умножим $4$ на $- 1$ .

$1 - 4 y^{3} y'$

Этап 3.3

Изменим порядок членов.

$- 4 y^{3} y' + 1$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$4 x^{3} + 6 x^{3} y y' + 9 x^{2} y^{2} = - 4 y^{3} y' + 1$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $4 y^{3} y'$ к обеим частям уравнения.

$4 x^{3} + 6 x^{3} y y' + 9 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} y' = 1$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $4 x^{3}$ из обеих частей уравнения.

$6 x^{3} y y' + 9 x^{2} y^{2} + 4 y^{3} y' = 1 - 4 x^{3}$

Этап 5.2.2

Вычтем $9 x^{2} y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$6 x^{3} y y' + 4 y^{3} y' = 1 - 4 x^{3} - 9 x^{2} y^{2}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $2 y y'$ из $6 x^{3} y y' + 4 y^{3} y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $2 y y'$ из $6 x^{3} y y'$ .

$2 y y' (3 x^{3}) + 4 y^{3} y' = 1 - 4 x^{3} - 9 x^{2} y^{2}$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $2 y y'$ из $4 y^{3} y'$ .

$2 y y' (3 x^{3}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 1 - 4 x^{3} - 9 x^{2} y^{2}$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $2 y y'$ из $2 y y' (3 x^{3}) + 2 y y' (2 y^{2})$ .

$2 y y' (3 x^{3} + 2 y^{2}) = 1 - 4 x^{3} - 9 x^{2} y^{2}$

Этап 5.4

Разделим каждый член $2 y y' (3 x^{3} + 2 y^{2}) = 1 - 4 x^{3} - 9 x^{2} y^{2}$ на $2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $2 y y' (3 x^{3} + 2 y^{2}) = 1 - 4 x^{3} - 9 x^{2} y^{2}$ на $2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})$ .

$\frac{2 y y' (3 x^{3} + 2 y^{2})}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y y' (3 x^{3} + 2 y^{2})}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y' (3 x^{3} + 2 y^{2})}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y' (3 x^{3} + 2 y^{2})}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Этап 5.4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (3 x^{3} + 2 y^{2})}{3 x^{3} + 2 y^{2}} = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Этап 5.4.2.3

Сократим общий множитель $3 x^{3} + 2 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (3 x^{3} + 2 y^{2})}{3 x^{3} + 2 y^{2}} = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Этап 5.4.2.3.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x^{3}$ .

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Этап 5.4.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})$ .

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (y (3 x^{3} + 2 y^{2}))} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Этап 5.4.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (y (3 x^{3} + 2 y^{2}))} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Этап 5.4.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Этап 5.4.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y^{2}}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Этап 5.4.3.1.3

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.3.1

Вынесем множитель $y$ из $- 9 x^{2} y^{2}$ .

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{y (- 9 x^{2} y)}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Этап 5.4.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})$ .

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{y (- 9 x^{2} y)}{y (2 (3 x^{3} + 2 y^{2}))}$

Этап 5.4.3.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{y (- 9 x^{2} y)}{y (2 (3 x^{3} + 2 y^{2}))}$

Этап 5.4.3.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} + \frac{- 9 x^{2} y}{2 (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Этап 5.4.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{9 x^{2} y}{2 (3 x^{3} + 2 y^{2})}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{2 x^{3}}{y (3 x^{3} + 2 y^{2})} - \frac{9 x^{2} y}{2 (3 x^{3} + 2 y^{2})}$