Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} - \frac{1}{| x |}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $\frac{1}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{| x |}{| x |}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot \frac{| x |}{| x |} - \frac{1}{| x |}$

Этап 1.2

Чтобы записать $- \frac{1}{| x |}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot \frac{| x |}{| x |} - \frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{x}$

Этап 1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x | x |$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{| x |}{| x |}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{| x |}{x | x |} - \frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{x}$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{1}{| x |}$ на $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{| x |}{x | x |} - \frac{x}{| x | x}$

Этап 1.3.3

Изменим порядок множителей в $| x | x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{| x |}{x | x |} - \frac{x}{x | x |}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{| x | - x}{x | x |}$

Этап 2

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\frac{| x | - x}{x | x |}$ , когда $x$ стремится к $0$ справа.

$\begin{array}{c} x & \frac{| x | - x}{x | x |} \\ 0.1 & 0 \\ 0.01 & 0 \\ 0.001 & 0 \end{array}$

Этап 3

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $0$ . Таким образом, предел $\frac{| x | - x}{x | x |}$ , когда $x$ стремится к $0$ справа, равен $0$ .

$0$