Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 269} \frac{x - 269}{\sqrt{x + 20} - 17}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 269} x - 269}{lim_{x \to 269} \sqrt{x + 20} - 17}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $269$ .

$\frac{lim_{x \to 269} x - lim_{x \to 269} 269}{lim_{x \to 269} \sqrt{x + 20} - 17}$

Этап 1.1.2.1.2

Найдем предел $269$ , который является константой по мере приближения $x$ к $269$ .

$\frac{lim_{x \to 269} x - 1 \cdot 269}{lim_{x \to 269} \sqrt{x + 20} - 17}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $269$ для $x$ .

$\frac{269 - 1 \cdot 269}{lim_{x \to 269} \sqrt{x + 20} - 17}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Умножим $- 1$ на $269$ .

$\frac{269 - 269}{lim_{x \to 269} \sqrt{x + 20} - 17}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $269$ из $269$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 269} \sqrt{x + 20} - 17}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $269$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 269} \sqrt{x + 20} - lim_{x \to 269} 17}$

Этап 1.1.3.1.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 269} x + 20} - lim_{x \to 269} 17}$

Этап 1.1.3.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $269$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 269} x + lim_{x \to 269} 20} - lim_{x \to 269} 17}$

Этап 1.1.3.1.4

Найдем предел $20$ , который является константой по мере приближения $x$ к $269$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 269} x + 20} - lim_{x \to 269} 17}$

Этап 1.1.3.1.5

Найдем предел $17$ , который является константой по мере приближения $x$ к $269$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 269} x + 20} - 1 \cdot 17}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $269$ для $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{269 + 20} - 1 \cdot 17}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Добавим $269$ и $20$ .

$\frac{0}{\sqrt{289} - 1 \cdot 17}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Перепишем $289$ в виде $17^{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{17^{2}} - 1 \cdot 17}$

Этап 1.1.3.3.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{0}{17 - 1 \cdot 17}$

Этап 1.1.3.3.1.4

Умножим $- 1$ на $17$ .

$\frac{0}{17 - 17}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $17$ из $17$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 269} \frac{x - 269}{\sqrt{x + 20} - 17} = lim_{x \to 269} \frac{\frac{d}{d x} [x - 269]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 20} - 17]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 269} \frac{\frac{d}{d x} [x - 269]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 20} - 17]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x - 269$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 269]$ .

$lim_{x \to 269} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 269]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 20} - 17]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 269} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 269]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 20} - 17]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 269$ является константой относительно $x$ , производная $- 269$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 269} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 20} - 17]}$

Этап 1.3.5

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 269} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 20} - 17]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $\sqrt{x + 20} - 17$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 20}] + \frac{d}{d x} [- 17]$ .

$lim_{x \to 269} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 20}] + \frac{d}{d x} [- 17]}$

Этап 1.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 20}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 20}$ в виде ${(x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 269} \frac{1}{\frac{d}{d x} [{(x + 20)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 17]}$

Этап 1.3.7.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x + 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 20$ .

$lim_{x \to 269} \frac{1}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 20] + \frac{d}{d x} [- 17]}$

Этап 1.3.7.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 269} \frac{1}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 20] + \frac{d}{d x} [- 17]}$

Этап 1.3.7.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 20$ .

$lim_{x \to 269} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 20)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 20] + \frac{d}{d x} [- 17]}$

Этап 1.3.7.3

По правилу суммы производная $x + 20$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20]$ .

$lim_{x \to 269} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 20)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20]) + \frac{d}{d x} [- 17]}$

Этап 1.3.7.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 269} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 20)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [20]) + \frac{d}{d x} [- 17]}$

Этап 1.3.7.5

Поскольку $20$ является константой относительно $x$ , производная $20$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 269} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 20)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 17]}$

Этап 1.3.7.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 269} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 20)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 17]}$

Этап 1.3.7.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 269} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 20)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 17]}$

Этап 1.3.7.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 269} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 20)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 17]}$

Этап 1.3.7.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 269} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 20)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 17]}$

Этап 1.3.7.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 269} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 20)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 17]}$

Этап 1.3.7.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 269} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 20)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 17]}$

Этап 1.3.7.11

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 269} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x + 20)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 17]}$

Этап 1.3.7.12

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + 20)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 269} \frac{1}{\frac{{(x + 20)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 17]}$

Этап 1.3.7.13

Умножим $\frac{{(x + 20)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ на $1$ .

$lim_{x \to 269} \frac{1}{\frac{{(x + 20)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 17]}$

Этап 1.3.7.14

Перенесем ${(x + 20)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 269} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x + 20)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 17]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $- 17$ является константой относительно $x$ , производная $- 17$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 269} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x + 20)}^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Этап 1.3.9

Добавим $\frac{1}{2 {(x + 20)}^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$lim_{x \to 269} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x + 20)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 269} 1 (2 {(x + 20)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.5

Перепишем ${(x + 20)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x + 20}$ .

$lim_{x \to 269} 1 (2 \sqrt{x + 20})$

Этап 1.6

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 269} 2 \sqrt{x + 20}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to 269} \sqrt{x + 20}$

Этап 2.2

Внесем предел под знак радикала.

$2 \sqrt{lim_{x \to 269} x + 20}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $269$ .

$2 \sqrt{lim_{x \to 269} x + lim_{x \to 269} 20}$

Этап 2.4

Найдем предел $20$ , который является константой по мере приближения $x$ к $269$ .

$2 \sqrt{lim_{x \to 269} x + 20}$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $269$ для $x$ .

$2 \sqrt{269 + 20}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $269$ и $20$ .

$2 \sqrt{289}$

Этап 4.2

Перепишем $289$ в виде $17^{2}$ .

$2 \sqrt{17^{2}}$

Этап 4.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$2 \cdot 17$

Этап 4.4

Умножим $2$ на $17$ .

$34$