Математический анализ Примеры

$lim_{y \to 1} \frac{y - 4 \sqrt{y + 3}}{y^{2}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $y$ к $1$ .

$\frac{lim_{y \to 1} y - 4 \sqrt{y + 3}}{lim_{y \to 1} y^{2}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $y$ к $1$ .

$\frac{lim_{y \to 1} y - lim_{y \to 1} 4 \sqrt{y + 3}}{lim_{y \to 1} y^{2}}$

Этап 3

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $y$ .

$\frac{lim_{y \to 1} y - 4 lim_{y \to 1} \sqrt{y + 3}}{lim_{y \to 1} y^{2}}$

Этап 4

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{lim_{y \to 1} y - 4 \sqrt{lim_{y \to 1} y + 3}}{lim_{y \to 1} y^{2}}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $y$ к $1$ .

$\frac{lim_{y \to 1} y - 4 \sqrt{lim_{y \to 1} y + lim_{y \to 1} 3}}{lim_{y \to 1} y^{2}}$

Этап 6

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $y$ к $1$ .

$\frac{lim_{y \to 1} y - 4 \sqrt{lim_{y \to 1} y + 3}}{lim_{y \to 1} y^{2}}$

Этап 7

Вынесем степень $2$ в выражении $y^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{lim_{y \to 1} y - 4 \sqrt{lim_{y \to 1} y + 3}}{{(lim_{y \to 1} y)}^{2}}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $y$ , подставив значение $1$ для $y$ .

$\frac{1 - 4 \sqrt{lim_{y \to 1} y + 3}}{{(lim_{y \to 1} y)}^{2}}$

Этап 8.2

Найдем предел $y$ , подставив значение $1$ для $y$ .

$\frac{1 - 4 \sqrt{1 + 3}}{{(lim_{y \to 1} y)}^{2}}$

Этап 8.3

Найдем предел $y$ , подставив значение $1$ для $y$ .

$\frac{1 - 4 \sqrt{1 + 3}}{1^{2}}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{1 - 4 \sqrt{4}}{1^{2}}$

Этап 9.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{1 - 4 \sqrt{2^{2}}}{1^{2}}$

Этап 9.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{1 - 4 \cdot 2}{1^{2}}$

Этап 9.1.4

Умножим $- 4$ на $2$ .

$\frac{1 - 8}{1^{2}}$

Этап 9.1.5

Вычтем $8$ из $1$ .

$\frac{- 7}{1^{2}}$

Этап 9.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{- 7}{1}$

Этап 9.3

Разделим $- 7$ на $1$ .

$- 7$