Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} + 1} - x}{x}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} + 1} - lim_{x \to 0} x}{x}$

Этап 2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x^{2} + 1} - lim_{x \to 0} x}{x}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1} - lim_{x \to 0} x}{x}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1} - lim_{x \to 0} x}{x}$

Этап 5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1} - lim_{x \to 0} x}{x}$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{0^{2} + 1} - lim_{x \to 0} x}{x}$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{0^{2} + 1} + 0}{x}$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{\sqrt{0 + 1} + 0}{x}$

Этап 7.2

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{1} + 0}{x}$

Этап 7.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1 + 0}{x}$

Этап 7.4

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{x}$