Математический анализ Примеры

${(6 x + 5)}^{2}$

Этап 1

Запишем ${(6 x + 5)}^{2}$ в виде функции.

$f (x) = {(6 x + 5)}^{2}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int {(6 x + 5)}^{2} d x$

Этап 4

Пусть $u = 6 x + 5$ . Тогда $d u = 6 d x$ , следовательно $\frac{1}{6} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = 6 x + 5$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $6 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $6 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $6$ на $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $6$ и $0$ .

$6$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u^{2} \frac{1}{6} d u$

Этап 5

Объединим $u^{2}$ и $\frac{1}{6}$ .

$\int \frac{u^{2}}{6} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{6} \int u^{2} d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $\frac{1}{6} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ в виде $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $\frac{1}{6}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{6 \cdot 3} u^{3} + C$

Этап 8.2.2

Умножим $6$ на $3$ .

$\frac{1}{18} u^{3} + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $6 x + 5$ .

$\frac{1}{18} {(6 x + 5)}^{3} + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = {(6 x + 5)}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{18} {(6 x + 5)}^{3} + C$