Математический анализ Примеры

$2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{\frac{2}{3}}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$2 + 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Этап 1.1.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 1.1.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 1.1.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 1.1.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Этап 1.1.3.6.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Этап 1.1.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Этап 1.1.3.8

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$2 + 3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Этап 1.1.3.9

Объединим $3$ и $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$2 + \frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Этап 1.1.3.10

Умножим $2$ на $3$ .

$2 + \frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Этап 1.1.3.11

Перенесем $x^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + \frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.1.3.12

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$2 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.1.3.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.13.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 + \frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

Этап 1.1.3.13.2

Сократим общий множитель.

$2 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.1.3.13.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = 2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Этап 2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = - 2$

Этап 2.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{\frac{1}{3}}, 1$

Этап 2.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{\frac{1}{3}}$

Этап 2.4

Каждый член в $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ умножим на $x^{\frac{1}{3}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим каждый член $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ на $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 x^{\frac{1}{3}}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 x^{\frac{1}{3}}$

Этап 2.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$2 = - 2 x^{\frac{1}{3}}$

Этап 2.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем уравнение в виде $- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ .

$- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$

Этап 2.5.2

Разделим каждый член $- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Разделим каждый член $- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{3}}}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

Этап 2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{3}}}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

Этап 2.5.2.2.2

Разделим $x^{\frac{1}{3}}$ на $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{- 2}$

Этап 2.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Разделим $2$ на $- 2$ .

$x^{\frac{1}{3}} = - 1$

Этап 2.5.3

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Этап 2.5.4

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Этап 2.5.4.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Этап 2.5.4.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = {(- 1)}^{3}$

Этап 2.5.4.1.1.2

Упростим.

$x = {(- 1)}^{3}$

Этап 2.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.2.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$x = - 1$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$2 + \frac{2}{\sqrt[3]{x^{1}}}$

Этап 3.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$2 + \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$

Этап 3.2

Зададим знаменатель в $\frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt[3]{x} = 0$

Этап 3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = 0^{3}$

Этап 3.3.2.2.1.2

Упростим.

$x = 0^{3}$

Этап 3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x = 0$

Этап 4

Вычислим $2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$2 (- 1) + 3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 + 3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.1.2.1.2

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$- 2 + 3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.1.2.1.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 + 3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Этап 4.1.2.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$- 2 + 3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Этап 4.1.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$- 2 + 3 {(- 1)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.5

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 2 + 3 \cdot 1$

Этап 4.1.2.1.6

Умножим $3$ на $1$ .

$- 2 + 3$

Этап 4.1.2.2

Добавим $- 2$ и $3$ .

$1$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$2 (0) + 3 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$0 + 3 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.2.2.1.2

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$0 + 3 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.2.2.1.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + 3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Этап 4.2.2.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$0 + 3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Этап 4.2.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$0 + 3 \cdot 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 3 \cdot 0$

Этап 4.2.2.1.6

Умножим $3$ на $0$ .

$0 + 0$

Этап 4.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(- 1, 1), (0, 0)$

Этап 5