Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 1} u^{4} - 1}{u^{3} - 1}$

Этап 1

Найдем предел $u^{4} - 1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{u^{4} - 1}{u^{3} - 1}$

Этап 2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем $u^{4}$ в виде ${(u^{2})}^{2}$ .

$\frac{{(u^{2})}^{2} - 1}{u^{3} - 1}$

Этап 2.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{{(u^{2})}^{2} - 1^{2}}{u^{3} - 1}$

Этап 2.1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = u^{2}$ и $b = 1$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (u^{2} - 1)}{u^{3} - 1}$

Этап 2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (u^{2} - 1^{2})}{u^{3} - 1}$

Этап 2.1.4.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = u$ и $b = 1$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (u + 1) (u - 1)}{u^{3} - 1}$

Этап 2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (u + 1) (u - 1)}{u^{3} - 1^{3}}$

Этап 2.2.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = u$ и $b = 1$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (u + 1) (u - 1)}{(u - 1) (u^{2} + u \cdot 1 + 1^{2})}$

Этап 2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Умножим $u$ на $1$ .

$\frac{(u^{2} + 1) (u + 1) (u - 1)}{(u - 1) (u^{2} + u + 1^{2})}$

Этап 2.2.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{(u^{2} + 1) (u + 1) (u - 1)}{(u - 1) (u^{2} + u + 1)}$

Этап 2.3

Сократим общий множитель $u - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(u^{2} + 1) (u + 1) (u - 1)}{(u - 1) (u^{2} + u + 1)}$

Этап 2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(u^{2} + 1) (u + 1)}{u^{2} + u + 1}$