Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{x} - \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} - 4}}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{x} - lim_{x \to 2} \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} - 4}}$

Этап 1.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} - 4}}$

Этап 1.3

Найдем предел $\sqrt{2}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} x} - \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} - 4}}$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} - 4}}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $\sqrt{2}$ из $\sqrt{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{x^{2} - 4}}$

Этап 3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{x^{2} - 2^{2}}}$

Этап 3.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{0}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$

Этап 3.3

Разделим $0$ на $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$0$