Математический анализ Примеры

$6 x^{4} + 32 x^{3}$

Этап 1

Запишем $6 x^{4} + 32 x^{3}$ в виде функции.

$f (x) = 6 x^{4} + 32 x^{3}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $6 x^{4} + 32 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [32 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [32 x^{3}]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{4}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [32 x^{3}]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [32 x^{3}]$

Этап 2.1.2.3

Умножим $4$ на $6$ .

$24 x^{3} + \frac{d}{d x} [32 x^{3}]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [32 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $32$ является константой относительно $x$ , производная $32 x^{3}$ по $x$ равна $32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 x^{3} + 32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$24 x^{3} + 32 (3 x^{2})$

Этап 2.1.3.3

Умножим $3$ на $32$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + 96 x^{2}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $24 x^{3} + 96 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [96 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [96 x^{2}]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $24 x^{3}$ по $x$ равна $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [96 x^{2}]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [96 x^{2}]$

Этап 2.2.2.3

Умножим $3$ на $24$ .

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [96 x^{2}]$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [96 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку $96$ является константой относительно $x$ , производная $96 x^{2}$ по $x$ равна $96 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$72 x^{2} + 96 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$72 x^{2} + 96 (2 x)$

Этап 2.2.3.3

Умножим $2$ на $96$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} + 192 x$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $72 x^{2} + 192 x$ .

$72 x^{2} + 192 x$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $72 x^{2} + 192 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$72 x^{2} + 192 x = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $24 x$ из $72 x^{2} + 192 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $24 x$ из $72 x^{2}$ .

$24 x (3 x) + 192 x = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $24 x$ из $192 x$ .

$24 x (3 x) + 24 x (8) = 0$

Этап 3.2.3

Вынесем множитель $24 x$ из $24 x (3 x) + 24 x (8)$ .

$24 x (3 x + 8) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$3 x + 8 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.5

Приравняем $3 x + 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $3 x + 8$ к $0$ .

$3 x + 8 = 0$

Этап 3.5.2

Решим $3 x + 8 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 8$

Этап 3.5.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 8$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 8$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 8}{3}$

Этап 3.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 8}{3}$

Этап 3.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 8}{3}$

Этап 3.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{8}{3}$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $24 x (3 x + 8) = 0$ верно.

$x = 0, - \frac{8}{3}$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $0$ в $f (x) = 6 x^{4} + 32 x^{3}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 6 {(0)}^{4} + 32 {(0)}^{3}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 6 \cdot 0 + 32 {(0)}^{3}$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $6$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 32 {(0)}^{3}$

Этап 4.1.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 32 \cdot 0$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $32$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Этап 4.1.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0$

Этап 4.1.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 4.2

Подставляя $0$ в $f (x) = 6 x^{4} + 32 x^{3}$ , найдем точку $(0, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 0)$

Этап 4.3

Подставим $- \frac{8}{3}$ в $f (x) = 6 x^{4} + 32 x^{3}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{8}{3}$ .

$f (- \frac{8}{3}) = 6 {(- \frac{8}{3})}^{4} + 32 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{8}{3}$ .

$f (- \frac{8}{3}) = 6 ({(- 1)}^{4} {(\frac{8}{3})}^{4}) + 32 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Этап 4.3.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{8}{3}$ .

$f (- \frac{8}{3}) = 6 ({(- 1)}^{4} (\frac{8^{4}}{3^{4}})) + 32 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Этап 4.3.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (- \frac{8}{3}) = 6 (1 (\frac{8^{4}}{3^{4}})) + 32 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Этап 4.3.2.1.3

Умножим $\frac{8^{4}}{3^{4}}$ на $1$ .

$f (- \frac{8}{3}) = 6 (\frac{8^{4}}{3^{4}}) + 32 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Этап 4.3.2.1.4

Возведем $8$ в степень $4$ .

$f (- \frac{8}{3}) = 6 (\frac{4096}{3^{4}}) + 32 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Этап 4.3.2.1.5

Возведем $3$ в степень $4$ .

$f (- \frac{8}{3}) = 6 (\frac{4096}{81}) + 32 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Этап 4.3.2.1.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.6.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$f (- \frac{8}{3}) = 3 (2) (\frac{4096}{81}) + 32 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Этап 4.3.2.1.6.2

Вынесем множитель $3$ из $81$ .

$f (- \frac{8}{3}) = 3 \cdot (2 (\frac{4096}{3 \cdot 27})) + 32 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Этап 4.3.2.1.6.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{8}{3}) = 3 \cdot (2 (\frac{4096}{3 \cdot 27})) + 32 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Этап 4.3.2.1.6.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{8}{3}) = 2 (\frac{4096}{27}) + 32 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Этап 4.3.2.1.7

Объединим $2$ и $\frac{4096}{27}$ .

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{2 \cdot 4096}{27} + 32 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Этап 4.3.2.1.8

Умножим $2$ на $4096$ .

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{8192}{27} + 32 {(- \frac{8}{3})}^{3}$

Этап 4.3.2.1.9

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.9.1

Применим правило умножения к $- \frac{8}{3}$ .

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{8192}{27} + 32 ({(- 1)}^{3} {(\frac{8}{3})}^{3})$

Этап 4.3.2.1.9.2

Применим правило умножения к $\frac{8}{3}$ .

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{8192}{27} + 32 ({(- 1)}^{3} (\frac{8^{3}}{3^{3}}))$

Этап 4.3.2.1.10

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{8192}{27} + 32 (- \frac{8^{3}}{3^{3}})$

Этап 4.3.2.1.11

Возведем $8$ в степень $3$ .

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{8192}{27} + 32 (- \frac{512}{3^{3}})$

Этап 4.3.2.1.12

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{8192}{27} + 32 (- \frac{512}{27})$

Этап 4.3.2.1.13

Умножим $32 (- \frac{512}{27})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.13.1

Умножим $- 1$ на $32$ .

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{8192}{27} - 32 (\frac{512}{27})$

Этап 4.3.2.1.13.2

Объединим $- 32$ и $\frac{512}{27}$ .

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{8192}{27} + \frac{- 32 \cdot 512}{27}$

Этап 4.3.2.1.13.3

Умножим $- 32$ на $512$ .

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{8192}{27} + \frac{- 16384}{27}$

Этап 4.3.2.1.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{8192}{27} - \frac{16384}{27}$

Этап 4.3.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{8192 - 16384}{27}$

Этап 4.3.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.2.1

Вычтем $16384$ из $8192$ .

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{- 8192}{27}$

Этап 4.3.2.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{8}{3}) = - \frac{8192}{27}$

Этап 4.3.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{8192}{27}$ .

$- \frac{8192}{27}$

Этап 4.4

Подставляя $- \frac{8}{3}$ в $f (x) = 6 x^{4} + 32 x^{3}$ , найдем точку $(- \frac{8}{3}, - \frac{8192}{27})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- \frac{8}{3}, - \frac{8192}{27})$

Этап 4.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(0, 0), (- \frac{8}{3}, - \frac{8192}{27})$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - \frac{8}{3}) \cup (- \frac{8}{3}, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \frac{8}{3})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2.7\overline{6}$ .

$f'' (- 2.7\overline{6}) = 72 {(- 2.7\overline{6})}^{2} + 192 (- 2.7\overline{6})$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 2.7\overline{6}$ в степень $2$ .

$f'' (- 2.7\overline{6}) = 72 \cdot 7.65\overline{4} + 192 (- 2.7\overline{6})$

Этап 6.2.1.2

Умножим $72$ на $7.65\overline{4}$ .

$f'' (- 2.7\overline{6}) = 551.12 + 192 (- 2.7\overline{6})$

Этап 6.2.1.3

Умножим $192$ на $- 2.7\overline{6}$ .

$f'' (- 2.7\overline{6}) = 551.12 - 531.2$

Этап 6.2.2

Вычтем $531.2$ из $551.12$ .

$f'' (- 2.7\overline{6}) = 19.92$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $19.92$ .

$19.92$

Этап 6.3

При $- 2.7\overline{6}$ вторая производная имеет вид $19.92$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, - \frac{8}{3})$ .

Возрастание в области $(- \infty, - \frac{8}{3})$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- \frac{8}{3}, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.33333333$ .

$f'' (- 1.33333333) = 72 {(- 1.33333333)}^{2} + 192 (- 1.33333333)$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $- 1.33333333$ в степень $2$ .

$f'' (- 1.33333333) = 72 \cdot 1.\overline{7} + 192 (- 1.33333333)$

Этап 7.2.1.2

Умножим $72$ на $1.\overline{7}$ .

$f'' (- 1.33333333) = 128 + 192 (- 1.33333333)$

Этап 7.2.1.3

Умножим $192$ на $- 1.33333333$ .

$f'' (- 1.33333333) = 128 - 256$

Этап 7.2.2

Вычтем $256$ из $128$ .

$f'' (- 1.33333333) = - 128$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 128$ .

$- 128$

Этап 7.3

При $- 1.33333333$ вторая производная имеет вид $- 128$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \frac{8}{3}, 0)$ .

Убывание на $(- \frac{8}{3}, 0)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = 72 {(0.1)}^{2} + 192 (0.1)$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $0.1$ в степень $2$ .

$f'' (0.1) = 72 \cdot 0.01 + 192 (0.1)$

Этап 8.2.1.2

Умножим $72$ на $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.72 + 192 (0.1)$

Этап 8.2.1.3

Умножим $192$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.72 + 19.2$

Этап 8.2.2

Добавим $0.72$ и $19.2$ .

$f'' (0.1) = 19.92$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $19.92$ .

$19.92$

Этап 8.3

При $0.1$ вторая производная имеет вид $19.92$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(0, \infty)$ .

Возрастание в области $(0, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 9

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(- \frac{8}{3}, - \frac{8192}{27}), (0, 0)$ .

$(- \frac{8}{3}, - \frac{8192}{27}), (0, 0)$

Этап 10