Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 4} 3 x^{2} - 17 x + 20}{4 x^{2} - 25 x + 36}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} 3 x^{2} - lim_{x \to 4} 17 x + lim_{x \to 4} 20}{4 x^{2} - 25 x + 36}$

Этап 2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 17 x + lim_{x \to 4} 20}{4 x^{2} - 25 x + 36}$

Этап 3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 17 x + lim_{x \to 4} 20}{4 x^{2} - 25 x + 36}$

Этап 4

Вынесем член $17$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 17 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 20}{4 x^{2} - 25 x + 36}$

Этап 5

Найдем предел $20$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 17 lim_{x \to 4} x + 20}{4 x^{2} - 25 x + 36}$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $4$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{3 \cdot 4^{2} - 17 lim_{x \to 4} x + 20}{4 x^{2} - 25 x + 36}$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{3 \cdot 4^{2} - 17 \cdot 4 + 20}{4 x^{2} - 25 x + 36}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{3 \cdot 16 - 17 \cdot 4 + 20}{4 x^{2} - 25 x + 36}$

Этап 7.1.2

Умножим $3$ на $16$ .

$\frac{48 - 17 \cdot 4 + 20}{4 x^{2} - 25 x + 36}$

Этап 7.1.3

Умножим $- 17$ на $4$ .

$\frac{48 - 68 + 20}{4 x^{2} - 25 x + 36}$

Этап 7.1.4

Вычтем $68$ из $48$ .

$\frac{- 20 + 20}{4 x^{2} - 25 x + 36}$

Этап 7.1.5

Добавим $- 20$ и $20$ .

$\frac{0}{4 x^{2} - 25 x + 36}$

Этап 7.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot 36 = 144$ , а сумма — $b = - 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Вынесем множитель $- 25$ из $- 25 x$ .

$\frac{0}{4 x^{2} - 25 (x) + 36}$

Этап 7.2.1.2

Запишем $- 25$ как $- 9$ плюс $- 16$

$\frac{0}{4 x^{2} + (- 9 - 16) x + 36}$

Этап 7.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{0}{4 x^{2} - 9 x - 16 x + 36}$

Этап 7.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{0}{(4 x^{2} - 9 x) - 16 x + 36}$

Этап 7.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{0}{x (4 x - 9) - 4 (4 x - 9)}$

Этап 7.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 x - 9$ .

$\frac{0}{(4 x - 9) (x - 4)}$

Этап 7.3

Разделим $0$ на $(4 x - 9) (x - 4)$ .

$0$