Математический анализ Примеры

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - 5 x - 6}{x^{2} - 2 x - 3}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 5 x - lim_{x \to 3} 6}{x^{2} - 2 x - 3}$

Этап 2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 5 x - lim_{x \to 3} 6}{x^{2} - 2 x - 3}$

Этап 3

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6}{x^{2} - 2 x - 3}$

Этап 4

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}{x^{2} - 2 x - 3}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{3^{2} - 5 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}{x^{2} - 2 x - 3}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{3^{2} - 5 \cdot 3 - 1 \cdot 6}{x^{2} - 2 x - 3}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{9 - 5 \cdot 3 - 1 \cdot 6}{x^{2} - 2 x - 3}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 5$ на $3$ .

$\frac{9 - 15 - 1 \cdot 6}{x^{2} - 2 x - 3}$

Этап 6.1.3

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{9 - 15 - 6}{x^{2} - 2 x - 3}$

Этап 6.1.4

Вычтем $15$ из $9$ .

$\frac{- 6 - 6}{x^{2} - 2 x - 3}$

Этап 6.1.5

Вычтем $6$ из $- 6$ .

$\frac{- 12}{x^{2} - 2 x - 3}$

Этап 6.2

Разложим $x^{2} - 2 x - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $- 2$ .

$- 3, 1$

Этап 6.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{- 12}{(x - 3) (x + 1)}$

Этап 6.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{12}{(x - 3) (x + 1)}$