Математический анализ Примеры

$lim_{n \to 8} \frac{3 n^{2} + 4 n + 5}{2 n^{2} - 3 n + 1}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 3 n^{2} + 4 n + 5}{lim_{n \to 8} 2 n^{2} - 3 n + 1}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 3 n^{2} + lim_{n \to 8} 4 n + lim_{n \to 8} 5}{lim_{n \to 8} 2 n^{2} - 3 n + 1}$

Этап 3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$\frac{3 lim_{n \to 8} n^{2} + lim_{n \to 8} 4 n + lim_{n \to 8} 5}{lim_{n \to 8} 2 n^{2} - 3 n + 1}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $n^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + lim_{n \to 8} 4 n + lim_{n \to 8} 5}{lim_{n \to 8} 2 n^{2} - 3 n + 1}$

Этап 5

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 5}{lim_{n \to 8} 2 n^{2} - 3 n + 1}$

Этап 6

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 5}{lim_{n \to 8} 2 n^{2} - 3 n + 1}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 5}{lim_{n \to 8} 2 n^{2} - lim_{n \to 8} 3 n + lim_{n \to 8} 1}$

Этап 8

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 5}{2 lim_{n \to 8} n^{2} - lim_{n \to 8} 3 n + lim_{n \to 8} 1}$

Этап 9

Вынесем степень $2$ в выражении $n^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 5}{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - lim_{n \to 8} 3 n + lim_{n \to 8} 1}$

Этап 10

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 5}{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 3 lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}$

Этап 11

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\frac{3 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 5}{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 3 lim_{n \to 8} n + 1}$

Этап 12

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{3 \cdot 8^{2} + 4 lim_{n \to 8} n + 5}{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 3 lim_{n \to 8} n + 1}$

Этап 12.2

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{3 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8 + 5}{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 3 lim_{n \to 8} n + 1}$

Этап 12.3

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{3 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8 + 5}{2 \cdot 8^{2} - 3 lim_{n \to 8} n + 1}$

Этап 12.4

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{3 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8 + 5}{2 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 + 1}$

Этап 13

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{3 \cdot 64 + 4 \cdot 8 + 5}{2 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 + 1}$

Этап 13.1.2

Умножим $3$ на $64$ .

$\frac{192 + 4 \cdot 8 + 5}{2 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 + 1}$

Этап 13.1.3

Умножим $4$ на $8$ .

$\frac{192 + 32 + 5}{2 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 + 1}$

Этап 13.1.4

Добавим $192$ и $32$ .

$\frac{224 + 5}{2 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 + 1}$

Этап 13.1.5

Добавим $224$ и $5$ .

$\frac{229}{2 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 + 1}$

Этап 13.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\frac{229}{2 \cdot 64 - 3 \cdot 8 + 1}$

Этап 13.2.2

Умножим $2$ на $64$ .

$\frac{229}{128 - 3 \cdot 8 + 1}$

Этап 13.2.3

Умножим $- 3$ на $8$ .

$\frac{229}{128 - 24 + 1}$

Этап 13.2.4

Вычтем $24$ из $128$ .

$\frac{229}{104 + 1}$

Этап 13.2.5

Добавим $104$ и $1$ .

$\frac{229}{105}$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{229}{105}$

Десятичная форма:

$2.18095238 \dots$