Математический анализ Примеры

$lim_{h \to 0} \frac{5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{4 - 3})}{h}$

Этап 1

Вычтем $3$ из $4$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{1})}{h}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{h \to 0} 5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Найдем предел $5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{1})$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{5 - \sqrt{4 - (3 + 0)} - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{5 - \sqrt{4 - 1 \cdot 3} - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.2.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{5 - \sqrt{4 - 3} - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.2.3

Вычтем $3$ из $4$ .

$\frac{5 - \sqrt{1} - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.2.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{5 - 1 \cdot 1 - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{5 - 1 - (5 - \sqrt{1})}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.2.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.6.1

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{5 - 1 - (5 - 1 \cdot 1)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.2.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{5 - 1 - (5 - 1)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.2.7

Вычтем $1$ из $5$ .

$\frac{5 - 1 - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.2.8

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{5 - 1 - 4}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.3

Вычтем $1$ из $5$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.2.4

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 2.1.3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{h \to 0} \frac{5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{1})}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{1})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - \sqrt{1})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - 1 \cdot 1)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - (5 - 1)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.3

Вычтем $1$ из $5$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.4

По правилу суммы производная $5 - \sqrt{4 - (3 + h)} - 1 \cdot 4$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [5] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{4 - (3 + h)}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{4 - (3 + h)}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.5

Поскольку $5$ является константой относительно $h$ , производная $5$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- \sqrt{4 - (3 + h)}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6

Найдем значение $\frac{d}{d h} [- \sqrt{4 - (3 + h)}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 - (3 + h)}$ в виде ${(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $h$ , производная $- {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}$ по $h$ равна $- \frac{d}{d h} [{(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d h} [{(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ имеет вид $f' (g (h)) g' (h)$ , где $f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ и $g (h) = 4 - (3 + h)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 - (3 + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [4 - (3 + h)]) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [4 - (3 + h)]) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 - (3 + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [4 - (3 + h)]) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6.4

По правилу суммы производная $4 - (3 + h)$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- (3 + h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- (3 + h)])) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6.5

Поскольку $4$ является константой относительно $h$ , производная $4$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d h} [- (3 + h)])) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $h$ , производная $- (3 + h)$ по $h$ равна $- \frac{d}{d h} [3 + h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d h} [3 + h])) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6.7

По правилу суммы производная $3 + h$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [3] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (\frac{d}{d h} [3] + \frac{d}{d h} [h]))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6.8

Поскольку $3$ является константой относительно $h$ , производная $3$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (0 + \frac{d}{d h} [h]))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6.10

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6.11

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.13.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6.13.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}} (0 - (0 + 1))) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6.15

Добавим $0$ и $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6.16

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1)) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6.17

Вычтем $1$ из $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6.18

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{{(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6.19

Объединим $\frac{{(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{{(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6.20

Перенесем $- 1$ влево от ${(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{- 1 \cdot {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6.21

Перепишем $- 1 {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}$ в виде $- {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{- {(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6.22

Перенесем ${(4 - (3 + h))}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{- 1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6.23

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{h \to 0} \frac{0 - - \frac{1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6.24

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 1 \frac{1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.6.25

Умножим $\frac{1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d h} [- 1 \cdot 4]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.7.2

Поскольку $- 4$ является константой относительно $h$ , производная $- 4$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(4 - (3 + h))}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(4 - 1 \cdot 3 - h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.8.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.2.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(4 - 3 - h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.8.2.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.8.2.3

Добавим $0$ и $\frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.8.2.4

Добавим $\frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 2.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Этап 2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 {(1 - h)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Этап 2.5

Перепишем ${(1 - h)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{1 - h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - h}} \cdot 1$

Этап 2.6

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{1 - h}}$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - h}}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{1}{2} lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - h}}$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \sqrt{1 - h}}$

Этап 3.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} \sqrt{1 - h}}$

Этап 3.4

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 1 - h}}$

Этап 3.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 1 - lim_{h \to 0} h}}$

Этап 3.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - lim_{h \to 0} h}}$

Этап 3.7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Этап 3.7.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}}$

Этап 3.7.2.1.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Этап 3.7.2.2

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Этап 3.7.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 3.7.2.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$0.5$