Математический анализ Примеры

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (5 x + 5 h) - \sin (5 x)}{h}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{h \to 0} \sin (5 x + 5 h) - \sin (5 x)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \sin (5 x + 5 h) - lim_{h \to 0} \sin (5 x)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{h \to 0} 5 x + 5 h) - lim_{h \to 0} \sin (5 x)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$\frac{\sin (lim_{h \to 0} 5 x + lim_{h \to 0} 5 h) - lim_{h \to 0} \sin (5 x)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.4

Найдем предел $5 x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{\sin (5 x + lim_{h \to 0} 5 h) - lim_{h \to 0} \sin (5 x)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.5

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$\frac{\sin (5 x + 5 lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \sin (5 x)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.1.6

Найдем предел $\sin (5 x)$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$\frac{\sin (5 x + 5 lim_{h \to 0} h) - \sin (5 x)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{\sin (5 x + 5 \cdot 0) - \sin (5 x)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{\sin (5 x + 0) - \sin (5 x)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Добавим $5 x$ и $0$ .

$\frac{\sin (5 x) - \sin (5 x)}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $\sin (5 x)$ из $\sin (5 x)$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Этап 1.1.3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (5 x + 5 h) - \sin (5 x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (5 x + 5 h) - \sin (5 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (5 x + 5 h) - \sin (5 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $\sin (5 x + 5 h) - \sin (5 x)$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [\sin (5 x + 5 h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (5 x)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (5 x + 5 h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (5 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d h} [\sin (5 x + 5 h)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ имеет вид $f' (g (h)) g' (h)$ , где $f (h) = \sin (h)$ и $g (h) = 5 x + 5 h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x + 5 h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d h} [5 x + 5 h] + \frac{d}{d h} [- \sin (5 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d h} [5 x + 5 h] + \frac{d}{d h} [- \sin (5 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x + 5 h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (5 x + 5 h) \frac{d}{d h} [5 x + 5 h] + \frac{d}{d h} [- \sin (5 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.2

По правилу суммы производная $5 x + 5 h$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [5 x] + \frac{d}{d h} [5 h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (5 x + 5 h) (\frac{d}{d h} [5 x] + \frac{d}{d h} [5 h]) + \frac{d}{d h} [- \sin (5 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.3

Поскольку $5 x$ является константой относительно $h$ , производная $5 x$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (5 x + 5 h) (0 + \frac{d}{d h} [5 h]) + \frac{d}{d h} [- \sin (5 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.4

Поскольку $5$ является константой относительно $h$ , производная $5 h$ по $h$ равна $5 \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (5 x + 5 h) (0 + 5 \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \sin (5 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (5 x + 5 h) (0 + 5 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \sin (5 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.6

Умножим $5$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (5 x + 5 h) (0 + 5) + \frac{d}{d h} [- \sin (5 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.7

Добавим $0$ и $5$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (5 x + 5 h) \cdot 5 + \frac{d}{d h} [- \sin (5 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.3.8

Перенесем $5$ влево от $\cos (5 x + 5 h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 \cos (5 x + 5 h) + \frac{d}{d h} [- \sin (5 x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- \sin (5 x)$ является константой относительно $h$ , производная $- \sin (5 x)$ относительно $h$ равна $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 \cos (5 x + 5 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.5

Добавим $5 \cos (5 x + 5 h)$ и $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 \cos (5 x + 5 h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Этап 1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 \cos (5 x + 5 h)}{1}$

Этап 1.4

Разделим $5 \cos (5 x + 5 h)$ на $1$ .

$lim_{h \to 0} 5 \cos (5 x + 5 h)$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$5 lim_{h \to 0} \cos (5 x + 5 h)$

Этап 2.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$5 \cos (lim_{h \to 0} 5 x + 5 h)$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $h$ к $0$ .

$5 \cos (lim_{h \to 0} 5 x + lim_{h \to 0} 5 h)$

Этап 2.4

Найдем предел $5 x$ , который является константой по мере приближения $h$ к $0$ .

$5 \cos (5 x + lim_{h \to 0} 5 h)$

Этап 2.5

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $h$ .

$5 \cos (5 x + 5 lim_{h \to 0} h)$

Этап 3

Найдем предел $h$ , подставив значение $0$ для $h$ .

$5 \cos (5 x + 5 \cdot 0)$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $5$ на $0$ .

$5 \cos (5 x + 0)$

Этап 4.2

Добавим $5 x$ и $0$ .

$5 \cos (5 x)$