Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} {(1 + \sin (x))}^{\csc (x)}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(1 + \sin (x))}^{\csc (x)}$ в виде $e^{\ln ({(1 + \sin (x))}^{\csc (x)})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(1 + \sin (x))}^{\csc (x)})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({(1 + \sin (x))}^{\csc (x)})$ , вынося $\csc (x)$ из логарифма.

$lim_{x \to 8} e^{\csc (x) \ln (1 + \sin (x))}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to 8} \csc (x) \ln (1 + \sin (x))}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} \csc (x) \cdot lim_{x \to 8} \ln (1 + \sin (x))}$

Этап 2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косеканс — непрерывная функция.

$e^{\csc (lim_{x \to 8} x) \cdot lim_{x \to 8} \ln (1 + \sin (x))}$

Этап 2.4

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{\csc (lim_{x \to 8} x) \cdot \ln (lim_{x \to 8} 1 + \sin (x))}$

Этап 2.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{\csc (lim_{x \to 8} x) \cdot \ln (lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} \sin (x))}$

Этап 2.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$e^{\csc (lim_{x \to 8} x) \cdot \ln (1 + lim_{x \to 8} \sin (x))}$

Этап 2.7

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$e^{\csc (lim_{x \to 8} x) \cdot \ln (1 + \sin (lim_{x \to 8} x))}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$e^{\csc (8) \cdot \ln (1 + \sin (lim_{x \to 8} x))}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$e^{\csc (8) \cdot \ln (1 + \sin (8))}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение $\csc (8)$ .

$e^{7.18529653 \cdot \ln (1 + \sin (8))}$

Этап 4.2

Упростим $7.18529653 \cdot \ln (1 + \sin (8))$ путем переноса $7.18529653$ под логарифм.

$e^{\ln ({(1 + \sin (8))}^{7.18529653})}$

Этап 4.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

${(1 + \sin (8))}^{7.18529653}$

Этап 4.4

Найдем значение $\sin (8)$ .

${(1 + 0.1391731)}^{7.18529653}$

Этап 4.5

Добавим $1$ и $0.1391731$ .

${1.1391731}^{7.18529653}$

Этап 4.6

Возведем $1.1391731$ в степень $7.18529653$ .

$2.55043306$