Математический анализ Примеры

$lim_{n \to 8} \frac{1 + 2 + 3 + n}{3 n + 1} - \frac{n}{6}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$lim_{n \to 8} \frac{1 + 2 + 3 + n}{3 n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{n}{6}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 1 + 2 + 3 + n}{lim_{n \to 8} 3 n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{n}{6}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 1 + lim_{n \to 8} 2 + lim_{n \to 8} 3 + lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} 3 n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{n}{6}$

Этап 4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\frac{1 + lim_{n \to 8} 2 + lim_{n \to 8} 3 + lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} 3 n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{n}{6}$

Этап 5

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\frac{1 + 2 + lim_{n \to 8} 3 + lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} 3 n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{n}{6}$

Этап 6

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\frac{1 + 2 + 3 + lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} 3 n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{n}{6}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $8$ .

$\frac{1 + 2 + 3 + lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} 3 n + lim_{n \to 8} 1} - lim_{n \to 8} \frac{n}{6}$

Этап 8

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$\frac{1 + 2 + 3 + lim_{n \to 8} n}{3 lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1} - lim_{n \to 8} \frac{n}{6}$

Этап 9

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $n$ к $8$ .

$\frac{1 + 2 + 3 + lim_{n \to 8} n}{3 lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{n}{6}$

Этап 10

Вынесем член $\frac{1}{6}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$\frac{1 + 2 + 3 + lim_{n \to 8} n}{3 lim_{n \to 8} n + 1} - \frac{1}{6} lim_{n \to 8} n$

Этап 11

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{1 + 2 + 3 + 8}{3 lim_{n \to 8} n + 1} - \frac{1}{6} lim_{n \to 8} n$

Этап 11.2

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{1 + 2 + 3 + 8}{3 \cdot 8 + 1} - \frac{1}{6} lim_{n \to 8} n$

Этап 11.3

Найдем предел $n$ , подставив значение $8$ для $n$ .

$\frac{1 + 2 + 3 + 8}{3 \cdot 8 + 1} - \frac{1}{6} \cdot 8$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{3 + 3 + 8}{3 \cdot 8 + 1} - \frac{1}{6} \cdot 8$

Этап 12.2

Добавим $3$ и $3$ .

$\frac{6 + 8}{3 \cdot 8 + 1} - \frac{1}{6} \cdot 8$

Этап 12.3

Добавим $6$ и $8$ .

$\frac{14}{3 \cdot 8 + 1} - \frac{1}{6} \cdot 8$

Этап 12.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1.1

Умножим $3$ на $8$ .

$\frac{14}{24 + 1} - \frac{1}{6} \cdot 8$

Этап 12.4.1.2

Добавим $24$ и $1$ .

$\frac{14}{25} - \frac{1}{6} \cdot 8$

Этап 12.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{6}$ в числитель.

$\frac{14}{25} + \frac{- 1}{6} \cdot 8$

Этап 12.4.2.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{14}{25} + \frac{- 1}{2 (3)} \cdot 8$

Этап 12.4.2.3

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{14}{25} + \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 4)$

Этап 12.4.2.4

Сократим общий множитель.

$\frac{14}{25} + \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 4)$

Этап 12.4.2.5

Перепишем это выражение.

$\frac{14}{25} + \frac{- 1}{3} \cdot 4$

Этап 12.4.3

Объединим $\frac{- 1}{3}$ и $4$ .

$\frac{14}{25} + \frac{- 1 \cdot 4}{3}$

Этап 12.4.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{14}{25} + \frac{- 4}{3}$

Этап 12.4.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{14}{25} - \frac{4}{3}$

Этап 12.5

Чтобы записать $\frac{14}{25}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14}{25} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Этап 12.6

Чтобы записать $- \frac{4}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{25}{25}$ .

$\frac{14}{25} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{25}{25}$

Этап 12.7

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $75$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.7.1

Умножим $\frac{14}{25}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14 \cdot 3}{25 \cdot 3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{25}{25}$

Этап 12.7.2

Умножим $25$ на $3$ .

$\frac{14 \cdot 3}{75} - \frac{4}{3} \cdot \frac{25}{25}$

Этап 12.7.3

Умножим $\frac{4}{3}$ на $\frac{25}{25}$ .

$\frac{14 \cdot 3}{75} - \frac{4 \cdot 25}{3 \cdot 25}$

Этап 12.7.4

Умножим $3$ на $25$ .

$\frac{14 \cdot 3}{75} - \frac{4 \cdot 25}{75}$

Этап 12.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{14 \cdot 3 - 4 \cdot 25}{75}$

Этап 12.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.9.1

Умножим $14$ на $3$ .

$\frac{42 - 4 \cdot 25}{75}$

Этап 12.9.2

Умножим $- 4$ на $25$ .

$\frac{42 - 100}{75}$

Этап 12.9.3

Вычтем $100$ из $42$ .

$\frac{- 58}{75}$

Этап 12.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{58}{75}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{58}{75}$

Десятичная форма:

$- 0.77\overline{3}$