Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{π}{4}} {\tan (x)}^{\tan (x)}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${\tan (x)}^{\tan (x)}$ в виде $e^{\ln ({\tan (x)}^{\tan (x)})}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} e^{\ln ({\tan (x)}^{\tan (x)})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({\tan (x)}^{\tan (x)})$ , вынося $\tan (x)$ из логарифма.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} e^{\tan (x) \ln (\tan (x))}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) \ln (\tan (x))}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{4}$ .

$e^{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \ln (\tan (x))}$

Этап 2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$e^{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \ln (\tan (x))}$

Этап 2.4

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) \cdot \ln (lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x))}$

Этап 2.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$e^{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) \cdot \ln (\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x))}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{π}{4}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $x$ .

$e^{\tan (\frac{π}{4}) \cdot \ln (\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x))}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{4}$ для $x$ .

$e^{\tan (\frac{π}{4}) \cdot \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$e^{1 \cdot \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Этап 4.2

Упростим $1 \cdot \ln (\tan (\frac{π}{4}))$ путем переноса $1$ под логарифм.

$e^{\ln (\tan^{1} (\frac{π}{4}))}$

Этап 4.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\tan^{1} (\frac{π}{4})$

Этап 4.4

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$1^{1}$

Этап 4.5

Найдем экспоненту.

$1$