Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{π}{4}} {\tan (x)}^{\tan (2 x)}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${\tan (x)}^{\tan (2 x)}$ в виде $e^{\ln ({\tan (x)}^{\tan (2 x)})}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} e^{\ln ({\tan (x)}^{\tan (2 x)})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({\tan (x)}^{\tan (2 x)})$ , вынося $\tan (2 x)$ из логарифма.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} e^{\tan (2 x) \ln (\tan (x))}$

Этап 2

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (2 x) \ln (\tan (x))}$

Этап 3

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to {(\frac{π}{4})}^{-}} \tan (2 x) \ln (\tan (x))$

Этап 4

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\tan (2 x) \ln (\tan (x))$ , когда $x$ стремится к $\frac{π}{4}$ слева.

$\begin{array}{c} x & \tan (2 x) \ln (\tan (x)) \\ 0.68539816 & - 0.99327506 \\ 0.77539816 & - 0.99993332 \\ 0.78439816 & - 0.99999933 \end{array}$

Этап 5

Если значения $x$ стремятся к $\frac{π}{4}$ , значения функции стремятся к $- 1$ . Таким образом, предел $\tan (2 x) \ln (\tan (x))$ , когда $x$ стремится к $\frac{π}{4}$ слева, равен $- 1$ .

$- 1$

Этап 6

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to {(\frac{π}{4})}^{+}} \tan (2 x) \ln (\tan (x))$

Этап 7

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\tan (2 x) \ln (\tan (x))$ , когда $x$ стремится к $\frac{π}{4}$ справа.

$\begin{array}{c} x & \tan (2 x) \ln (\tan (x)) \\ 0.88539816 & - 0.99327506 \\ 0.79539816 & - 0.99993332 \\ 0.78639816 & - 0.99999933 \end{array}$

Этап 8

Если значения $x$ стремятся к $\frac{π}{4}$ , значения функции стремятся к $- 1$ . Таким образом, предел $\tan (2 x) \ln (\tan (x))$ , когда $x$ стремится к $\frac{π}{4}$ справа, равен $- 1$ .

$e^{- 1}$

Этап 9

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{e}$

Десятичная форма:

$0.36787944 \dots$