Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{π}{2}} {\tan (x)}^{\cos (x)}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${\tan (x)}^{\cos (x)}$ в виде $e^{\ln ({\tan (x)}^{\cos (x)})}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} e^{\ln ({\tan (x)}^{\cos (x)})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({\tan (x)}^{\cos (x)})$ , вынося $\cos (x)$ из логарифма.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$

Этап 2

Рассмотрим предел как левосторонний.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$

Этап 3

Вычислим левосторонний предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cos (x) \ln (\tan (x))}$

Этап 3.2

Перепишем $\cos (x) \ln (\tan (x))$ в виде $\frac{\ln (\tan (x))}{\frac{1}{\cos (x)}}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\ln (\tan (x))}{\frac{1}{\cos (x)}}}$

Этап 3.3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$e^{\frac{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \ln (\tan (x))}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\cos (x)}}}$

Этап 3.3.1.2

Когда логарифм стремится к бесконечности, значение стремится к $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\cos (x)}}}$

Этап 3.3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sec (x)}}$

Этап 3.3.1.3.2

Когда $x$ стремится к $\frac{π}{2}$ слева, функция неограниченно возрастает.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Этап 3.3.1.3.3

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Этап 3.3.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Этап 3.3.2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\ln (\tan (x))}{\frac{1}{\cos (x)}} = lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}$

Этап 3.3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Этап 3.3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\tan (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Этап 3.3.3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Этап 3.3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\tan (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\tan (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Этап 3.3.3.3

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Этап 3.3.3.4

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Этап 3.3.3.5

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Этап 3.3.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.6.1

Перепишем это выражение.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Этап 3.3.3.6.2

Умножим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Этап 3.3.3.7

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Этап 3.3.3.8

Объединим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ и $\sec^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) \sec^{2} (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Этап 3.3.3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.9.1.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Этап 3.3.3.9.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Этап 3.3.3.9.1.3

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.9.1.3.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Этап 3.3.3.9.1.3.2

Сократим общий множитель.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\cos (x) \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Этап 3.3.3.9.1.3.3

Перепишем это выражение.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\frac{1^{2}}{\cos (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Этап 3.3.3.9.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Этап 3.3.3.9.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.9.2.1

Перепишем $\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\sin (x)}$ в виде произведения.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Этап 3.3.3.9.2.2

Умножим $\frac{1}{\cos (x)}$ на $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (x)}]}}$

Этап 3.3.3.10

Перепишем $\frac{1}{\cos (x)}$ в виде $\cos^{- 1} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\cos^{- 1} (x)]}}$

Этап 3.3.3.11

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.11.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

Этап 3.3.3.11.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

Этап 3.3.3.11.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{- \cos^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}}$

Этап 3.3.3.12

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{- \cos^{- 2} (x) \cdot - 1 \sin (x)}}$

Этап 3.3.3.13

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{1 \cos^{- 2} (x) \sin (x)}}$

Этап 3.3.3.14

Умножим $\cos^{- 2} (x)$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\cos^{- 2} (x) \sin (x)}}$

Этап 3.3.3.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.15.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x)}}$

Этап 3.3.3.15.2

Объединим $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ и $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Этап 3.3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}}$

Этап 3.3.5

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Умножим $\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$ на $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x) \sin (x)}}$

Этап 3.3.5.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin^{1} (x) \sin (x)}}$

Этап 3.3.5.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}}$

Этап 3.3.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) {\sin (x)}^{1 + 1}}}$

Этап 3.3.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin^{2} (x)}}$

Этап 3.3.6

Сократим общий множитель $\cos^{2} (x)$ и $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin^{2} (x)}}$

Этап 3.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.2.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos (x) \sin^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (\sin^{2} (x))}}$

Этап 3.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin^{2} (x)}}$

Этап 3.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}}$

Этап 3.3.7

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}}$

Этап 3.3.8

Разделим дроби.

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Этап 3.3.9

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\sin (x)} \cot (x)}$

Этап 3.3.10

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \csc (x) \cot (x)}$

Этап 3.4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{2}$ .

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \csc (x) \cdot lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cot (x)}$

Этап 3.4.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косеканс — непрерывная функция.

$e^{\csc (lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} x) \cdot lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cot (x)}$

Этап 3.4.3

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$e^{\csc (lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} x) \cdot \cot (lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} x)}$

Этап 3.5

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{π}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$e^{\csc (\frac{π}{2}) \cdot \cot (lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} x)}$

Этап 3.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$e^{\csc (\frac{π}{2}) \cdot \cot (\frac{π}{2})}$

Этап 3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Точное значение $\csc (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$e^{1 \cdot \cot (\frac{π}{2})}$

Этап 3.6.2

Умножим $\cot (\frac{π}{2})$ на $1$ .

$e^{\cot (\frac{π}{2})}$

Этап 3.6.3

Точное значение $\cot (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$e^{0}$

Этап 3.7

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1$

Этап 4

Рассмотрим предел как правосторонний.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$

Этап 5

Вычислим пределы, подставив значение переменной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$e^{\cos (\frac{π}{2}) \ln (\tan (\frac{π}{2}))}$

Этап 5.2

Выразим $\tan (\frac{π}{2})$ через синусы и косинусы.

$e^{\cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{\sin (\frac{π}{2})}{\cos (\frac{π}{2})})}$

Этап 5.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$e^{\cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{\sin (\frac{π}{2})}{0})}$

Этап 5.4

Так как выражение $e^{\cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{\sin (\frac{π}{2})}{0})}$ не определено, предел не существует.

$Не существует$

Этап 6

Если право- или левостороннего предел не существует, предел не существует.

$Не существует$