Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{e^{8 x} - 1}{2 x}$

Этап 1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{8 x} - 1}{x}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} e^{8 x} - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} e^{8 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.1.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} 8 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.1.3

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{8 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.1.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{8 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{8 \cdot 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.1

Умножим $8$ на $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.3.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{8 x} - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{8 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{8 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $e^{8 x} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{8 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{8 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{8 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $8 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $8 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{8 x} \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3.2

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{8 x} \cdot 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{8 x} \cdot 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3.4

Умножим $8$ на $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{8 x} \cdot 8 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3.5

Перенесем $8$ влево от $e^{8 x}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{8 e^{8 x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{8 e^{8 x} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.5

Добавим $8 e^{8 x}$ и $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{8 e^{8 x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{8 e^{8 x}}{1}$

Этап 2.4

Разделим $8 e^{8 x}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 8 e^{8 x}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 8 lim_{x \to 0} e^{8 x}$

Этап 3.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{1}{2} \cdot 8 e^{lim_{x \to 0} 8 x}$

Этап 3.3

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 8 e^{8 lim_{x \to 0} x}$

Этап 4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 8 e^{8 \cdot 0}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (4)) e^{8 \cdot 0}$

Этап 5.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 4) e^{8 \cdot 0}$

Этап 5.1.3

Перепишем это выражение.

$4 e^{8 \cdot 0}$

Этап 5.2

Умножим $8$ на $0$ .

$4 e^{0}$

Этап 5.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$4 \cdot 1$

Этап 5.4

Умножим $4$ на $1$ .

$4$