Математический анализ Примеры

$f (t) = \frac{e^{6 t} + e^{- 6 t}}{e^{4 t}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = e^{6 t} + e^{- 6 t}$ и $g (t) = e^{4 t}$ .

$\frac{e^{4 t} \frac{d}{d t} [e^{6 t} + e^{- 6 t}] - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{{(e^{4 t})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило суммы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{4 t})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{4 t} \frac{d}{d t} [e^{6 t} + e^{- 6 t}] - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{4 t \cdot 2}}$

Этап 2.1.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{e^{4 t} \frac{d}{d t} [e^{6 t} + e^{- 6 t}] - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $e^{6 t} + e^{- 6 t}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [e^{6 t}] + \frac{d}{d t} [e^{- 6 t}]$ .

$\frac{e^{4 t} (\frac{d}{d t} [e^{6 t}] + \frac{d}{d t} [e^{- 6 t}]) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = e^{t}$ и $g (t) = 6 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $6 t$ .

$\frac{e^{4 t} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [e^{- 6 t}]) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{e^{4 t} (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [e^{- 6 t}]) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $6 t$ .

$\frac{e^{4 t} (e^{6 t} \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [e^{- 6 t}]) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $6$ является константой относительно $t$ , производная $6 t$ по $t$ равна $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{e^{4 t} (e^{6 t} (6 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- 6 t}]) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{e^{4 t} (e^{6 t} (6 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [e^{- 6 t}]) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Этап 4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{e^{4 t} (e^{6 t} \cdot 6 + \frac{d}{d t} [e^{- 6 t}]) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Этап 4.3.2

Перенесем $6$ влево от $e^{6 t}$ .

$\frac{e^{4 t} (6 \cdot e^{6 t} + \frac{d}{d t} [e^{- 6 t}]) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- 6 t$ .

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 6 t]) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t} + e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 6 t]) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- 6 t$ .

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t} + e^{- 6 t} \frac{d}{d t} [- 6 t]) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $t$ , производная $- 6 t$ по $t$ равна $- 6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t} + e^{- 6 t} (- 6 \frac{d}{d t} [t])) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Этап 6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t} + e^{- 6 t} (- 6 \cdot 1)) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Этап 6.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $- 6$ на $1$ .

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t} + e^{- 6 t} \cdot - 6) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Этап 6.3.2

Перенесем $- 6$ влево от $e^{- 6 t}$ .

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t} - 6 \cdot e^{- 6 t}) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) \frac{d}{d t} [e^{4 t}]}{e^{8 t}}$

Этап 7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $4 t$ .

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t} - 6 e^{- 6 t}) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d t} [4 t])}{e^{8 t}}$

Этап 7.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ имеет вид $a^{u_{3}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t} - 6 e^{- 6 t}) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d t} [4 t])}{e^{8 t}}$

Этап 7.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $4 t$ .

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t} - 6 e^{- 6 t}) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) (e^{4 t} \frac{d}{d t} [4 t])}{e^{8 t}}$

Этап 8

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $4$ является константой относительно $t$ , производная $4 t$ по $t$ равна $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t} - 6 e^{- 6 t}) - (e^{6 t} + e^{- 6 t}) (e^{4 t} (4 \frac{d}{d t} [t]))}{e^{8 t}}$

Этап 8.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t} - 6 e^{- 6 t}) - 4 (e^{6 t} + e^{- 6 t}) (e^{4 t} (\frac{d}{d t} [t]))}{e^{8 t}}$

Этап 8.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t} - 6 e^{- 6 t}) - 4 (e^{6 t} + e^{- 6 t}) (e^{4 t} \cdot 1)}{e^{8 t}}$

Этап 8.4

Умножим $e^{4 t}$ на $1$ .

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t} - 6 e^{- 6 t}) - 4 (e^{6 t} + e^{- 6 t}) e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t}) + e^{4 t} (- 6 e^{- 6 t}) - 4 (e^{6 t} + e^{- 6 t}) e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Этап 9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t}) + e^{4 t} (- 6 e^{- 6 t}) + (- 4 e^{6 t} - 4 e^{- 6 t}) e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Этап 9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{4 t} (6 e^{6 t}) + e^{4 t} (- 6 e^{- 6 t}) - 4 e^{6 t} e^{4 t} - 4 e^{- 6 t} e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Этап 9.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{6 e^{4 t} e^{6 t} + e^{4 t} (- 6 e^{- 6 t}) - 4 e^{6 t} e^{4 t} - 4 e^{- 6 t} e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Этап 9.4.1.2

Умножим $e^{4 t}$ на $e^{6 t}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1.2.1

Перенесем $e^{6 t}$ .

$\frac{6 (e^{6 t} e^{4 t}) + e^{4 t} (- 6 e^{- 6 t}) - 4 e^{6 t} e^{4 t} - 4 e^{- 6 t} e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Этап 9.4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{6 e^{6 t + 4 t} + e^{4 t} (- 6 e^{- 6 t}) - 4 e^{6 t} e^{4 t} - 4 e^{- 6 t} e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Этап 9.4.1.2.3

Добавим $6 t$ и $4 t$ .

$\frac{6 e^{10 t} + e^{4 t} (- 6 e^{- 6 t}) - 4 e^{6 t} e^{4 t} - 4 e^{- 6 t} e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Этап 9.4.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{6 e^{10 t} - 6 e^{4 t} e^{- 6 t} - 4 e^{6 t} e^{4 t} - 4 e^{- 6 t} e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Этап 9.4.1.4

Умножим $e^{4 t}$ на $e^{- 6 t}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1.4.1

Перенесем $e^{- 6 t}$ .

$\frac{6 e^{10 t} - 6 (e^{- 6 t} e^{4 t}) - 4 e^{6 t} e^{4 t} - 4 e^{- 6 t} e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Этап 9.4.1.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{6 e^{10 t} - 6 e^{- 6 t + 4 t} - 4 e^{6 t} e^{4 t} - 4 e^{- 6 t} e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Этап 9.4.1.4.3

Добавим $- 6 t$ и $4 t$ .

$\frac{6 e^{10 t} - 6 e^{- 2 t} - 4 e^{6 t} e^{4 t} - 4 e^{- 6 t} e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Этап 9.4.1.5

Умножим $e^{6 t}$ на $e^{4 t}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1.5.1

Перенесем $e^{4 t}$ .

$\frac{6 e^{10 t} - 6 e^{- 2 t} - 4 (e^{4 t} e^{6 t}) - 4 e^{- 6 t} e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Этап 9.4.1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{6 e^{10 t} - 6 e^{- 2 t} - 4 e^{4 t + 6 t} - 4 e^{- 6 t} e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Этап 9.4.1.5.3

Добавим $4 t$ и $6 t$ .

$\frac{6 e^{10 t} - 6 e^{- 2 t} - 4 e^{10 t} - 4 e^{- 6 t} e^{4 t}}{e^{8 t}}$

Этап 9.4.1.6

Умножим $e^{- 6 t}$ на $e^{4 t}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1.6.1

Перенесем $e^{4 t}$ .

$\frac{6 e^{10 t} - 6 e^{- 2 t} - 4 e^{10 t} - 4 (e^{4 t} e^{- 6 t})}{e^{8 t}}$

Этап 9.4.1.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{6 e^{10 t} - 6 e^{- 2 t} - 4 e^{10 t} - 4 e^{4 t - 6 t}}{e^{8 t}}$

Этап 9.4.1.6.3

Вычтем $6 t$ из $4 t$ .

$\frac{6 e^{10 t} - 6 e^{- 2 t} - 4 e^{10 t} - 4 e^{- 2 t}}{e^{8 t}}$

Этап 9.4.2

Вычтем $4 e^{10 t}$ из $6 e^{10 t}$ .

$\frac{2 e^{10 t} - 6 e^{- 2 t} - 4 e^{- 2 t}}{e^{8 t}}$

Этап 9.4.3

Вычтем $4 e^{- 2 t}$ из $- 6 e^{- 2 t}$ .

$\frac{2 e^{10 t} - 10 e^{- 2 t}}{e^{8 t}}$

Этап 9.5

Вынесем множитель $2$ из $2 e^{10 t} - 10 e^{- 2 t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 e^{10 t}$ .

$\frac{2 (e^{10 t}) - 10 e^{- 2 t}}{e^{8 t}}$

Этап 9.5.2

Вынесем множитель $2$ из $- 10 e^{- 2 t}$ .

$\frac{2 (e^{10 t}) + 2 (- 5 e^{- 2 t})}{e^{8 t}}$

Этап 9.5.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (e^{10 t}) + 2 (- 5 e^{- 2 t})$ .

$\frac{2 (e^{10 t} - 5 e^{- 2 t})}{e^{8 t}}$