Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} {(1 + \sin (4 x))}^{\cot (x)}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(1 + \sin (4 x))}^{\cot (x)}$ в виде $e^{\ln ({(1 + \sin (4 x))}^{\cot (x)})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 + \sin (4 x))}^{\cot (x)})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({(1 + \sin (4 x))}^{\cot (x)})$ , вынося $\cot (x)$ из логарифма.

$lim_{x \to 0} e^{\cot (x) \ln (1 + \sin (4 x))}$

Этап 2

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to 0} \cot (x) \ln (1 + \sin (4 x))}$

Этап 3

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (x) \ln (1 + \sin (4 x))$

Этап 4

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\cot (x) \ln (1 + \sin (4 x))$ , когда $x$ стремится к $0$ слева.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (1 + \sin (4 x)) \\ - 0.1 & 4.91697664 \\ - 0.01 & 4.08095239 \\ - 0.001 & 4.00800935 \\ - 0.0001 & 4.00080009 \\ - 0.00001 & 4.00008 \\ - 0.000001 & 4.000008 \end{array}$

Этап 5

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $4$ . Таким образом, предел $\cot (x) \ln (1 + \sin (4 x))$ , когда $x$ стремится к $0$ слева, равен $4$ .

$4$

Этап 6

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (x) \ln (1 + \sin (4 x))$

Этап 7

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\cot (x) \ln (1 + \sin (4 x))$ , когда $x$ стремится к $0$ справа.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (1 + \sin (4 x)) \\ 0.1 & 3.27788185 \\ 0.01 & 3.92091504 \\ 0.001 & 3.99200931 \\ 0.0001 & 3.99920009 \\ 0.00001 & 3.99992 \\ 0.000001 & 3.99999199 \end{array}$

Этап 8

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $4$ . Таким образом, предел $\cot (x) \ln (1 + \sin (4 x))$ , когда $x$ стремится к $0$ справа, равен $4$ .

$e^{4}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$e^{4}$

Десятичная форма:

$54.59815003 \dots$