Математический анализ Примеры

lim_{x \to 0} \frac{\cot (4 x)}{\cot (3 x)}

$lim_{x \to 0} \frac{\cot (4 x)}{\cot (3 x)}$

Этап 1

Применим тригонометрические тождества.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Выразим

\cot (3 x)

$\cot (3 x)$ через синусы и косинусы.

lim_{x \to 0} \frac{\cot (4 x)}{\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}

$lim_{x \to 0} \frac{\cot (4 x)}{\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

Этап 1.2

Выразим

\cot (4 x)

$\cot (4 x)$ через синусы и косинусы.

lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (4 x)}{\sin (4 x)}}{\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (4 x)}{\sin (4 x)}}{\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

Этап 1.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на

\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}

$\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ .

lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x)}{\sin (4 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x)}{\sin (4 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Переведем

\frac{\cos (4 x)}{\sin (4 x)}

$\frac{\cos (4 x)}{\sin (4 x)}$ в

\cot (4 x)

$\cot (4 x)$ .

lim_{x \to 0} \cot (4 x) \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}

$lim_{x \to 0} \cot (4 x) \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Этап 1.4.2

Переведем

\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}

$\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ в

\tan (3 x)

$\tan (3 x)$ .

lim_{x \to 0} \cot (4 x) \tan (3 x)

$lim_{x \to 0} \cot (4 x) \tan (3 x)$

lim_{x \to 0} \cot (4 x) \tan (3 x)

$lim_{x \to 0} \cot (4 x) \tan (3 x)$

lim_{x \to 0} \cot (4 x) \tan (3 x)

$lim_{x \to 0} \cot (4 x) \tan (3 x)$

Этап 2

Рассмотрим левосторонний предел.

lim_{x \to 0^{-}} \cot (4 x) \tan (3 x)

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (4 x) \tan (3 x)$

Этап 3

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции

\cot (4 x) \tan (3 x)

$\cot (4 x) \tan (3 x)$ , когда

x

$x$ стремится к

0

$0$ слева.

\begin{array}{c} x & \cot (4 x) \tan (3 x) \\ - 0.1 & 0.73164903 \\ - 0.01 & 0.74982491 \\ - 0.001 & 0.74999824 \end{array}

$\begin{array}{c} x & \cot (4 x) \tan (3 x) \\ - 0.1 & 0.73164903 \\ - 0.01 & 0.74982491 \\ - 0.001 & 0.74999824 \end{array}$

Этап 4

Если значения

x

$x$ стремятся к

0

$0$ , значения функции стремятся к

0.75

$0.75$ . Таким образом, предел

\cot (4 x) \tan (3 x)

$\cot (4 x) \tan (3 x)$ , когда

x

$x$ стремится к

0

$0$ слева, равен

0.75

$0.75$ .

0.75

$0.75$

Этап 5

Рассмотрим правосторонний предел.

lim_{x \to 0^{+}} \cot (4 x) \tan (3 x)

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (4 x) \tan (3 x)$

Этап 6

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции

\cot (4 x) \tan (3 x)

$\cot (4 x) \tan (3 x)$ , когда

x

$x$ стремится к

0

$0$ справа.

\begin{array}{c} x & \cot (4 x) \tan (3 x) \\ 0.1 & 0.73164903 \\ 0.01 & 0.74982491 \\ 0.001 & 0.74999824 \end{array}

$\begin{array}{c} x & \cot (4 x) \tan (3 x) \\ 0.1 & 0.73164903 \\ 0.01 & 0.74982491 \\ 0.001 & 0.74999824 \end{array}$

Этап 7

Если значения

x

$x$ стремятся к

0

$0$ , значения функции стремятся к

0.75

$0.75$ . Таким образом, предел

\cot (4 x) \tan (3 x)

$\cot (4 x) \tan (3 x)$ , когда

x

$x$ стремится к

0

$0$ справа, равен

0.75

$0.75$ .

0.75

$0.75$