Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{5 x + 4} - 3}{x - 1}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{5 x + 4} - 3}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{5 x + 4} - lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.1.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} 5 x + 4} - lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} 5 x + lim_{x \to 1} 4} - lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.1.4

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sqrt{5 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 4} - lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.1.5

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{\sqrt{5 lim_{x \to 1} x + 4} - lim_{x \to 1} 3}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.1.6

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{\sqrt{5 lim_{x \to 1} x + 4} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{5 \cdot 1 + 4} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{5 + 4} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Добавим $5$ и $4$ .

$\frac{\sqrt{9} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.3.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.3.1.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{5 x + 4} - 3}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x + 4} - 3]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x + 4} - 3]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $\sqrt{5 x + 4} - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x + 4}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x + 4}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x + 4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 x + 4}$ в виде ${(5 x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [{(5 x + 4)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 5 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x + 4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x + 4] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 4] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x + 4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} {(5 x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 4] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.3.3

По правилу суммы производная $5 x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} {(5 x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.3.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} {(5 x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} {(5 x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.3.6

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} {(5 x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.3.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} {(5 x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.3.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} {(5 x + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} {(5 x + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} {(5 x + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.3.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} {(5 x + 4)}^{\frac{- 1}{2}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.3.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} {(5 x + 4)}^{- \frac{1}{2}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.3.12

Умножим $5$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} {(5 x + 4)}^{- \frac{1}{2}} (5 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.3.13

Добавим $5$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2} {(5 x + 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.3.14

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(5 x + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{{(5 x + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.3.15

Объединим $\frac{{(5 x + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $5$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{{(5 x + 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 5}{2} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.3.16

Перенесем $5$ влево от ${(5 x + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{5 \cdot {(5 x + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.3.17

Перенесем ${(5 x + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{5}{2 {(5 x + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{5}{2 {(5 x + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.5

Добавим $\frac{5}{2 {(5 x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{5}{2 {(5 x + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{5}{2 {(5 x + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{5}{2 {(5 x + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{5}{2 {(5 x + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Этап 1.3.9

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{5}{2 {(5 x + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 1} \frac{5}{2 {(5 x + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Этап 1.5

Перепишем ${(5 x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{5 x + 4}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{5}{2 \sqrt{5 x + 4}} \cdot 1$

Этап 1.6

Умножим $\frac{5}{2 \sqrt{5 x + 4}}$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{5}{2 \sqrt{5 x + 4}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $\frac{5}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5}{2} lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{5 x + 4}}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{5 x + 4}}$

Этап 2.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} \sqrt{5 x + 4}}$

Этап 2.4

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 1} 5 x + 4}}$

Этап 2.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 1} 5 x + lim_{x \to 1} 4}}$

Этап 2.6

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 4}}$

Этап 2.7

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 lim_{x \to 1} x + 4}}$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 \cdot 1 + 4}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 + 4}}$

Этап 4.1.2

Добавим $5$ и $4$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9}}$

Этап 4.1.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Этап 4.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $\frac{5}{2}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{2 \cdot 3}$

Этап 4.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{5}{6}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{5}{6}$

Десятичная форма:

$0.8\overline{3}$