Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (1 - \cos (x))}{3 x^{2}}$

Этап 1

Вынесем член $\frac{1}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (1 - \cos (x))}{x^{2}}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (x) (1 - \cos (x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 2.1.2.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 2.1.2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 2.1.2.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot (1 - lim_{x \to 0} \cos (x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 2.1.2.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot (1 - \cos (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 2.1.2.6

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (0) \cdot (1 - \cos (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 2.1.2.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (0) \cdot (1 - \cos (0))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 2.1.2.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.7.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot (1 - \cos (0))}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 2.1.2.7.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.7.2.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 2.1.2.7.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot (1 - 1)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 2.1.2.7.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 2.1.2.7.4

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Этап 2.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

Этап 2.1.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (1 - \cos (x))}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) (1 - \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) (1 - \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 1 - \cos (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)] + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 2.3.3

По правилу суммы производная $1 - \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 2.3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 2.3.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 2.3.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 1 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 2.3.7

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 1 \cdot - 1 \sin (x) + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 2.3.8

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot 1 \sin (x) + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 2.3.9

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \sin (x) + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 2.3.10

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{1} (x) \sin (x) + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 2.3.11

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 2.3.12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 2.3.13

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 2.3.14

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + (1 - \cos (x)) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 2.3.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + 1 \cos (x) - \cos (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 2.3.15.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.15.2.1

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 2.3.15.2.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{1} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 2.3.15.2.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 2.3.15.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 2.3.15.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Этап 2.3.16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)}{2 x}$

Этап 3

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)}{x}$

Этап 4

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 4.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) + lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 4.1.2.2

Вынесем степень $2$ в выражении $\sin^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{{(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2} + lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 4.1.2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 4.1.2.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 4.1.2.5

Вынесем степень $2$ в выражении $\cos^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) - {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 4.1.2.6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) - \cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 4.1.2.7

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{\sin^{2} (0) + \cos (lim_{x \to 0} x) - \cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 4.1.2.7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{\sin^{2} (0) + \cos (0) - \cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 4.1.2.7.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{\sin^{2} (0) + \cos (0) - \cos^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 4.1.2.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.1.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0^{2} + \cos (0) - \cos^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 4.1.2.8.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + \cos (0) - \cos^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 4.1.2.8.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + 1 - \cos^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 4.1.2.8.1.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + 1 - 1^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 4.1.2.8.1.5

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + 1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 4.1.2.8.1.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + 1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 4.1.2.8.2

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 4.1.2.8.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 4.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

Этап 4.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

Этап 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 4.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 4.3.2

По правилу суммы производная $\sin^{2} (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 4.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sin (x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 4.3.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 4.3.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sin (x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 4.3.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 4.3.4

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 4.3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos^{2} (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 4.3.5.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\cos (x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) - \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 4.3.5.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) - 1 \cdot 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 4.3.5.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\cos (x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) - 1 \cdot 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 4.3.5.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) - 1 \cdot 2 \cos (x) \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 4.3.5.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) - - 2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 4.3.5.5

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) + 2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 4.3.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Изменим порядок множителей в $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) \sin (x) - \sin (x) + 2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 4.3.6.2

Добавим $2 \cos (x) \sin (x)$ и $2 \cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (x) \sin (x) - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 4.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (x) \sin (x) - \sin (x)}{1}$

Этап 4.4

Разделим $4 \cos (x) \sin (x) - \sin (x)$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} 4 \cos (x) \sin (x) - \sin (x)$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (lim_{x \to 0} 4 \cos (x) \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin (x))$

Этап 5.2

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (4 lim_{x \to 0} \cos (x) \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin (x))$

Этап 5.3

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (4 lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin (x))$

Этап 5.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (4 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin (x))$

Этап 5.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (4 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x))$

Этап 5.6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (4 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x))$

Этап 6

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (4 \cos (0) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x))$

Этап 6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (4 \cos (0) \cdot \sin (0) - \sin (lim_{x \to 0} x))$

Этап 6.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (4 \cos (0) \cdot \sin (0) - \sin (0))$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 2} (4 \cos (0) \cdot \sin (0) - \sin (0))$

Этап 7.1.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{1}{6} (4 \cos (0) \cdot \sin (0) - \sin (0))$

Этап 7.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{6} (4 \cdot 1 \cdot \sin (0) - \sin (0))$

Этап 7.2.2

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{1}{6} (4 \cdot \sin (0) - \sin (0))$

Этап 7.2.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{6} (4 \cdot 0 - \sin (0))$

Этап 7.2.4

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{1}{6} (0 - \sin (0))$

Этап 7.2.5

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{1}{6} (0 - 0)$

Этап 7.2.6

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1}{6} (0 + 0)$

Этап 7.3

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot 0$

Этап 7.4

Умножим $\frac{1}{6}$ на $0$ .

$0$