Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{{(x + 3)}^{2} - 9}{2 x}$

Этап 1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{{(x + 3)}^{2} - 9}{x}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(x + 3)}^{2} - 9}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(x + 3)}^{2} - lim_{x \to 0} 9}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.1.2

Вынесем степень $2$ в выражении ${(x + 3)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x + 3)}^{2} - lim_{x \to 0} 9}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 3)}^{2} - lim_{x \to 0} 9}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.1.4

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x + 3)}^{2} - lim_{x \to 0} 9}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.1.5

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x + 3)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(0 + 3)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.1

Добавим $0$ и $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.3.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{9 - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.3.1.3

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{9 - 9}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.2.3.2

Вычтем $9$ из $9$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{{(x + 3)}^{2} - 9}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{2} - 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{2} - 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.2

Перепишем ${(x + 3)}^{2}$ в виде $(x + 3) (x + 3)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x + 3) - 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3

Развернем $(x + 3) (x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x (x + 3) + 3 (x + 3) - 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3) - 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 - 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 - 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.4.1.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3 - 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.4.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 3 x + 9 - 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.4.2

Добавим $3 x$ и $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9 - 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.5

По правилу суммы производная $x^{2} + 6 x + 9 - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.7.3

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x + 6 + \frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.8

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x + 6 + 0 + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.9

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x + 6 + 0 + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.10

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.10.1

Добавим $2 x + 6$ и $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x + 6 + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.10.2

Добавим $2 x + 6$ и $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x + 6}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x + 6}{1}$

Этап 2.4

Разделим $2 x + 6$ на $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 2 x + 6$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} (lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 6)$

Этап 3.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} (2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 6)$

Этап 3.3

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{2} (2 lim_{x \to 0} x + 6)$

Этап 4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 0 + 6)$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{1}{2} (0 + 6)$

Этап 5.2

Добавим $0$ и $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot 6$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (3))$

Этап 5.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 3)$

Этап 5.3.3

Перепишем это выражение.

$3$