Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} \sqrt[4]{\frac{7 + 81 x^{2}}{x^{2} + 8}}$

Этап 1

Внесем предел под знак радикала.

$\sqrt[4]{lim_{x \to 8} \frac{7 + 81 x^{2}}{x^{2} + 8}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt[4]{\frac{lim_{x \to 8} 7 + 81 x^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 8}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt[4]{\frac{lim_{x \to 8} 7 + lim_{x \to 8} 81 x^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 8}}$

Этап 4

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\sqrt[4]{\frac{7 + lim_{x \to 8} 81 x^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 8}}$

Этап 5

Вынесем член $81$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 lim_{x \to 8} x^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 8}}$

Этап 6

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 8}}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 8}}$

Этап 8

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 8}}$

Этап 9

Найдем предел $8$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 8}}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 \cdot 8^{2}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 8}}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 \cdot 8^{2}}{8^{2} + 8}}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\sqrt[4]{\frac{7 + 81 \cdot 64}{8^{2} + 8}}$

Этап 11.2

Умножим $81$ на $64$ .

$\sqrt[4]{\frac{7 + 5184}{8^{2} + 8}}$

Этап 11.3

Добавим $7$ и $5184$ .

$\sqrt[4]{\frac{5191}{8^{2} + 8}}$

Этап 11.4

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\sqrt[4]{\frac{5191}{64 + 8}}$

Этап 11.5

Добавим $64$ и $8$ .

$\sqrt[4]{\frac{5191}{72}}$

Этап 11.6

Перепишем $\sqrt[4]{\frac{5191}{72}}$ в виде $\frac{\sqrt[4]{5191}}{\sqrt[4]{72}}$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191}}{\sqrt[4]{72}}$

Этап 11.7

Умножим $\frac{\sqrt[4]{5191}}{\sqrt[4]{72}}$ на $\frac{{\sqrt[4]{72}}^{3}}{{\sqrt[4]{72}}^{3}}$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191}}{\sqrt[4]{72}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{72}}^{3}}{{\sqrt[4]{72}}^{3}}$

Этап 11.8

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.8.1

Умножим $\frac{\sqrt[4]{5191}}{\sqrt[4]{72}}$ на $\frac{{\sqrt[4]{72}}^{3}}{{\sqrt[4]{72}}^{3}}$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{\sqrt[4]{72} {\sqrt[4]{72}}^{3}}$

Этап 11.8.2

Возведем $\sqrt[4]{72}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{{\sqrt[4]{72}}^{1} {\sqrt[4]{72}}^{3}}$

Этап 11.8.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{{\sqrt[4]{72}}^{1 + 3}}$

Этап 11.8.4

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{{\sqrt[4]{72}}^{4}}$

Этап 11.8.5

Перепишем ${\sqrt[4]{72}}^{4}$ в виде $72$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.8.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{72}$ в виде $72^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{{(72^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Этап 11.8.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{72^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Этап 11.8.5.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $4$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{72^{\frac{4}{4}}}$

Этап 11.8.5.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.8.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{72^{\frac{4}{4}}}$

Этап 11.8.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{72^{1}}$

Этап 11.8.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt[4]{5191} {\sqrt[4]{72}}^{3}}{72}$

Этап 11.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.1

Перепишем ${\sqrt[4]{72}}^{3}$ в виде $\sqrt[4]{72^{3}}$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} \sqrt[4]{72^{3}}}{72}$

Этап 11.9.2

Возведем $72$ в степень $3$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} \sqrt[4]{373248}}{72}$

Этап 11.9.3

Перепишем $373248$ в виде $12^{4} \cdot 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.3.1

Вынесем множитель $20736$ из $373248$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} \sqrt[4]{20736 (18)}}{72}$

Этап 11.9.3.2

Перепишем $20736$ в виде $12^{4}$ .

$\frac{\sqrt[4]{5191} \sqrt[4]{12^{4} \cdot 18}}{72}$

Этап 11.9.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{\sqrt[4]{5191} \cdot 12 \sqrt[4]{18}}{72}$

Этап 11.9.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.5.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{12 \sqrt[4]{5191 \cdot 18}}{72}$

Этап 11.9.5.2

Умножим $5191$ на $18$ .

$\frac{12 \sqrt[4]{93438}}{72}$

Этап 11.10

Сократим общий множитель $12$ и $72$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.10.1

Вынесем множитель $12$ из $12 \sqrt[4]{93438}$ .

$\frac{12 (\sqrt[4]{93438})}{72}$

Этап 11.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.10.2.1

Вынесем множитель $12$ из $72$ .

$\frac{12 \sqrt[4]{93438}}{12 \cdot 6}$

Этап 11.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{12 \sqrt[4]{93438}}{12 \cdot 6}$

Этап 11.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt[4]{93438}}{6}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt[4]{93438}}{6}$

Десятичная форма:

$2.91393347 \dots$