Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 2} \frac{(\frac{1}{x} - \frac{1}{2})}{x - 2}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $\frac{1}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}{x - 2}$

Этап 1.2

Чтобы записать $- \frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{x}}{x - 2}$

Этап 1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x \cdot 2$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2}{x \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{x}}{x - 2}$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2}{x \cdot 2} - \frac{x}{2 x}}{x - 2}$

Этап 1.3.3

Изменим порядок множителей в $x \cdot 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2}{2 x} - \frac{x}{2 x}}{x - 2}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2 - x}{2 x}}{x - 2}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 2} \frac{2 - x}{2 x} \cdot \frac{1}{x - 2}$

Этап 2.1.2

Умножим $\frac{2 - x}{2 x}$ на $\frac{1}{x - 2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 - x}{2 x (x - 2)}$

Этап 2.1.3

Сократим общий множитель $2 - x$ и $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1 (- 2) - x}{2 x (x - 2)}$

Этап 2.1.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1 (- 2) - (x)}{2 x (x - 2)}$

Этап 2.1.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 2) - (x)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1 (- 2 + x)}{2 x (x - 2)}$

Этап 2.1.3.4

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to 2} \frac{- 1 (x - 2)}{2 x (x - 2)}$

Этап 2.1.3.5

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 2} \frac{- 1 (x - 2)}{2 x (x - 2)}$

Этап 2.1.3.6

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 2} \frac{- 1}{2 x}$

Этап 2.2

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 2} \frac{- 1}{x}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} - 1}{lim_{x \to 2} x}$

Этап 2.4

Найдем предел $- 1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 2} x}$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Этап 4.2

Умножим $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2}$

Этап 4.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{1}{4}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{4}$

Десятичная форма:

$- 0.25$